Odpowiedź:
2. a) Objętość ostrosłupa: V = (1/3)•24•12 = 24•12/3 = 24•4 = 96 cm³
b)
Objętość ostrosłupa V = (1/3)•P•H =
= (1/3)•7•10 = 7•10/3 = 70/3 = 23,33333..., = (23 + 1/3) cm³
c)
Objętość ostrosłupa: V = (1/3•)P•H = 12•8/3 = 4•8 = 32 cm³
Szczegółowe wyjaśnienie:
2. a)
Dane: Przekątne trapezu, 6 cm i 8 cm, wysokość ostrosłupa H = 12 cm,
Obliczyć: Objętość ostrosłupa V.
Jeżeli przez wierzchołki rombu poprowadzimy proste równoległe do przekątnych, to zauważymy, ze otrzymaliśmy prostokąt o polu dwa razy większym, więc:
Pole rombu (podstawy ostrosłupa) obliczymy z połowy iloczynu przekątnych:
P = 6•8/2 = 48/2 = 24 cm²
Objętość ostrosłupa V (podobnie i stożka) obliczamy z jednej/trzeciej iloczynu pola podstawy P i wysokości H, to
Objętość ostrosłupa:
V = (1/3)•P•H = (1/3)•24•12 = 24•12/3 = 24•4 = 96 cm³
b)
Podstawą ostrosłupa jest trapez, o podstawach: a = 4 cm, b = 3 cm, wysokość h = 2 cm. Wysokość ostrosłupa H = 10 cm.
W załączniku przedstawiono rysunek, który uzasadnia wzór na pole trapezu; Podstawę dolną trapezu a przedłużono o podstawę górną b. Pola zakreskowanych trójkątów są równe. Przekształcono więc trapez na trójkąt o równych polach.
Z klasycznego wzoru pole trójkąta: Obliczamy z polowy iloczynu podstawy trójkąta a i wysokości h, P = a•h/2
Pole trapezu obliczamy tak samo jak pole trójkąta, gdzie długość podstawy jest równa (a + b) to
P = (a + b)•h/2 = (4 + 3)•2/2 = 7•2/2 = 7 cm²
Objętość ostrosłupa V [tak jak w przykładzie a)] obliczamy z 1/3 iloczynu pola podstawy i wysokości H:
Objętość ostrosłupa V = (1/3)•P•H =
= (1/3)•7•10 = 7•10/3 = 70/3 = 23,33333..., = (23 + 1/3) cm³
[23,33333..., = 23 + 0,33333..., = 23 + 1/3]
c)
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o boku podstawy a = 6 cm i ramionach równych po 5 cm.
W trójkącie równoramiennym (podobnie i równobocznym), wysokość h spuszczona na podstawę, dzieli podstawę na połowę, 6/2 = 3 cm.
Mamy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i 3 cm oraz przeciwprostokątnej 5 cm.
Z tw. Pitagorasa obliczymy wysokość h, mamy:
h² + 3² = 5² to h² + 9 = 25 to h² = 25 - 9 to h² = 16 /√
[pierwiastkujemy ostatnie równanie pierwiastkiem drugiego stopnia /√,
√h² = h, bo skraca nam się wykładnik potęgi ² ze stopniem pierwiastka 2, √16 = 4 bo 4² = 16] to √h² = √16 to h = 4
to pole trójkąta P = a•h/2 = 6•4/2 = 12 cm²
Wysokość ostrosłupa H = 8 cm, to: Objętość ostrosłupa:
V = (1/3•)P•H = 12•8/3 = 4•8 = 32 cm³
