Odpowiedź:
a)
x/(6-x) : (x²+x)/(x²-36)
założenie:
6-x ≠ 0 ∧ x² - 36 ≠ 0 ∧ x² + x ≠ 0
- x ≠ - 6 ∧ (x - 6)(x + 6) ≠ 0 ∧ x(x + 1) ≠ 0
x ≠ 6 ∧ x ≠ - 6 ∧ x ∧ 0 ∧ x ≠ - 1
D: x ∈ R \ { - 6 , - 1 , 0 , 6 }
x/(6 - x) : (x² + x)/(x² - 36) = x/(6 -x) * (x² -36)/(x² + x) =
= x/(6 - x) * [(x - 6)(x + 6)]/(x² + x) = x/- (x + 6) * [(x - 6)(x + 6)/x² + x)=
= - x * (x + 6)/x(x + 1) = - (x + 6)/(x + 1)
b)
(x² - 1)/(x² + x) : (x² - 2x + 1)/(x² + 1) = (x² - 1)/(x² + x) : (x - 1)²/(x² + 1)
założenie:
x² + x ≠ 0 ∧ x² + 1 ≠ 0 ∧ x - 1 ≠ 0
Ponieważ x² + 1 > 0 dla x ∈ R , więc :
x² + x ≠ 0 ∧ x - 1 ≠ 0
x(x + 1) ≠ 0 ∧ x ≠ 1
x ≠ 0 ∧ x ≠ - 1 ∧ x ≠ 1
(x² - 1)/(x² + x) : (x - 1)²/(x² + 1) = (x² - 1)/(x² + x) * (x² + 1)/(x - 1)² =
= [(x - 1)(x + 1)]/x² + x) * (x² + 1)/(x - 1)² = (x + 1)/(x² + x) * (x² + 1)/(x - 1) =
= (x + 1)(x² + 1)/[(x² + x)(x - 1)] = (x + 1)(x² + 1)/[x(x + 1)(x - 1)] =
= (x² + 1)/[x(x - 1)]
Polecenie "oblicz" wymaga podania liczby, którą należy podstawić za x.
Skoro nic takiego nie podałeś, to rozumiem, że polecenie brzmiało: "Wyznacz dziedzinę i wykonaj działania".
[tex]\dfrac{x}{6-x} : \dfrac{x^{2} +x}{x^{2} -36}[/tex]
D:
6 - x ≠ 0 ∧ x² - 36 ≠ 0 ∧ x² + x ≠ 0
- x ≠ -6 ∧ (x - 6)(x + 6) ≠ 0 ∧ x(x + 1) ≠ 0
x ≠ 6 ∧ x ≠ 6 ∧ x ≠ -6 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ -1
[tex]\underline{D=\mathbb R\setminus\{-6,-1,\,0,\,6\}}[/tex]
[tex]\dfrac{x}{6-x} : \dfrac{x^{2} +x}{x^{2} -36}=\dfrac{x}{6-x}\cdot\dfrac{x^{2} -36}{x^{2} +x}= \dfrac{x}{6-x}\cdot\dfrac{(x-6)(x+6)}{x(x+1)}=\\\\\\=-\dfrac1{x-6}\cdot\dfrac{(x-6)(x+6)}{x+1}=-\dfrac11\cdot\dfrac{x+6}{x+1}=-\dfrac{x+6}{x+1}[/tex]
[tex]\dfrac{x^{2} -1}{x^{2} +x} : \dfrac{x^{2} -2x+1}{x^{2} +1}[/tex]
D:
x² + x ≠ 0 ∧ x² + 1 ≠ 0 ∧ x² - 2x + 1 ≠ 0
x(x + 1) ≠ 0 ∧ x² ≠ -1 ∧ (x - 1)² ≠ 0
x ≠ 0 ∧ x ≠ -1 ∧ x ∈ R ∧ x ≠ 1
[tex]\underline{D=\mathbb R\setminus\{-1,\,0,\,1\}}[/tex]
[tex]\dfrac{x^2-1}{x^2+x}:\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}= \dfrac{x^2-1}{x^2+x}\cdot \dfrac{x^2+1}{x^2-2x+1}= \dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}\cdot \dfrac{x^2+1}{(x-1)^2} =\\\\\\= \dfrac{x-1}x\cdot \dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-1)} =\dfrac1x\cdot \dfrac{x^2+1}{x-1} = \dfrac{x^2+1}{x^2-x}[/tex]
