a)
[tex]D_f=\mathbb{R}[/tex]
Liczymy pochodną funkcji.
[tex]f'(x)=(x^3-3x)'=3x^2-3[/tex]
Szukamy punktów krytycznych.
[tex]f'(x)=0\\3x^2-3=0\ |:3\\x^2-1=0\\(x-1)(x+1)=0\\x=1\vee x=-1[/tex]
Szukamy przedziałów, w których pochodna jest dodatnia i ujemna.
[tex]f'(x)>0\\3x^2-3>0\ |:3\\x^2-1>0\\(x-1)(x+1)>0\\f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(-1,1)[/tex]
Ostatecznie:
1) funkcja posiada minimum lokalne osiągane dla x = 1 a wynoszące
[tex]f_{min}=f(1)=1^3-3*1=1-3=-2[/tex]
2) funkcja posiada maksimum lokalne osiągane dla x = -1 a wynoszące
[tex]f_{max}=f(-1)=(-1)^3-3*(-1)=-1+3=2[/tex]
3) funkcja jest rosnąca dla
[tex]x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/tex]
4) funkcja jest malejąca dla
[tex]x\in(-1,1)[/tex]
b)
[tex]x^2-4\neq 0\\(x-2)(x+2)\neq 0\\x\neq 2\land x\neq -2\\D_f=\mathbb{R}-\{-2,2\}[/tex]
Liczymy pochodną funkcji.
[tex]f'(x)=\left(\frac{x^2-1}{x^2-4}\right)'=\frac{(x^2-1)'(x^2-4)-(x^2-1)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}=\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2-1)}{(x^2-4)^2}=\frac{2x(x^2-4-x^2+1)}{(x^2-4)^2}=\frac{2x*(-3)}{(x^2-4)^2}=\frac{-6x}{(x^2-4)^2}[/tex]Szukamy punktów krytycznych.
[tex]f'(x)=0\\\frac{-6x}{(x^2-4)^2}=0\ |*(x^2-4)^2\\-6x=0\\x=0[/tex]
Szukamy przedziałów, w których pochodna jest dodatnia i ujemna.
[tex]f'(x)>0\\\frac{-6x}{(x^2-4)^2}>0\\-6x\underbrace{(x^2-4)^2}_{>0}>0\\-6x>0\ |:(-6)\\x<0\\f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-2)\cup(-2,0)\\f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(0,2)\cup(2,+\infty)[/tex]
Ostatecznie:
1) funkcja posiada maksimum lokalne osiągane dla x = 0 a wynoszące
[tex]f_{max}=f(0)=\frac{0^2-1}{0^2-4}=\frac{1}{4}[/tex]
3) funkcja jest rosnąca w przedziałach [tex](-\infty,-2)\text{ oraz }(-2,0)[/tex]
4) funkcja jest malejąca w przedziałach [tex](0,2)\text{ oraz }(2,+\infty)[/tex]