Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm^2 różnica długości przyprostokątnych wynosi 7 cm. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość
A) 34 cm
B) 10 cm
C) 17 cm
D) 27 cm
Proszę o szczegółowa odpowiedz

Question

Rozwiązane

Odpowiedź :

Kubowjoannaviz Kubowjoannaviz · Answer 1

Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wynosi [tex]17\,cm[/tex], czyli prawidłowa jest odpowiedź C.

Wiemy, że pole trójkąta prostokątnego wynosi [tex]60\,cm^2[/tex]. Pole trójkąta prostokątnego obliczamy ze wzoru, mnożąc długości przyprostokątnych tego trójkąta i dzieląc przez dwa. Oznacza to:

[tex]P=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b[/tex]

Wiedząc, że jedna z przyprostokątnych jest o [tex]7\,cm[/tex] dłuższa od drugiej, czyli:

[tex]a=b+7\,cm[/tex]

[tex]P=\frac{1}{2}\cdot (b+7\,cm)\cdot b[/tex]

[tex]60\,cm^2=\frac{1}{2} \cdot (b+7\,cm)\cdot b[/tex]

[tex]120\,cm^2=b^2+7b[/tex]

[tex]b^2+7b-120=0[/tex]

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=7^2-4\cdot1\cdot(-120)[/tex]

[tex]\Delta=49+480[/tex]

[tex]\Delta=529[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta}=23[/tex]

[tex]b_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-7+23}{2}= 8[/tex]

[tex]b_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-7-23}{2}=-15[/tex]

Długość boku nie może być ujemna, więc odrzucamy drugą odpowiedź.

[tex]a=8\,cm+7\,cm=15\,cm[/tex]

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej, czyli:

[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

obliczmy długość przeciwprostokątnej:

[tex]c=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

[tex]c=\sqrt{(8\,cm)^2+(15\,cm)^2}[/tex]

[tex]c=\sqrt{64\,cm^2+225\,cm^2}[/tex]

[tex]c=\sqrt{289\,cm^2}[/tex]

[tex]c=17\,cm[/tex]