[tex]y=e^{x^2-1}[/tex] to wzór funkcji, której wykres przechodzi przez punkt (1,1) i która spełnia równanie różniczkowe [tex]y'=2xy[/tex]
[tex]y'=2xy[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}=2xy[/tex]
Niech [tex]y\neq 0[/tex]
[tex]\frac{dy}{y}=2xdx[/tex]
[tex]ln|y|+c_1=x^2+c_2[/tex]
[tex]ln|y|=x^2+c_2-c_1[/tex]
[tex]|y|=e^{x^2+c_2-c_1[/tex]
[tex]|y|=e^{c_2-c_1}\cdot e^{x^2}[/tex]
[tex]y=c_3\cdot e^{x^2}[/tex]
Podstawiamy punkt (1,1)
[tex]1=c_3\cdot e[/tex]
[tex]c_3=\frac{1}{e}[/tex]
Zatem
[tex]y=\frac{1}{e}\cdot e^{x^2}=e^{x^2-1}[/tex]
