Cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego do jego podstawy przy założeniu, że wszystkie jego krawędzie mają długość 5 to:
[tex]cos\alpha =\frac{|FE|}{|DE|}=\frac{1}{3}[/tex]
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Wszystkie jego krawędzie, również boczne, mają długość 5.
Podstawą sukcesu jest dokładny rysunek.
W załączeniu jest cały ostrosłup, oddzielnie jest narysowana podstawa [tex]ABC[/tex], ściana boczna [tex]DBC[/tex] oraz trójkąt [tex]DFE[/tex], z którego będziemy liczyć cosinusa.
Szukany kąt znajduje się pomiędzy wysokością ściany bocznej [tex]DE[/tex], a wysokością podstawy [tex]AE[/tex], został oznaczony na fioletowo.
Cosinus tego kąta to stosunek długości odcinka [tex]FE[/tex] do długości wysokości ściany bocznej [tex]DE[/tex] (patrz trójkąt prostokątny [tex]DFE[/tex]).
W podstawie jest trójkąt równoboczny [tex]ABC[/tex].
Wysokość trójkąta [tex]ABC[/tex] obliczamy ze wzoru:
[tex]h_p=\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{5\sqrt{3} }{2}[/tex]
Odcinek [tex]FE[/tex] jest równy jednej trzeciej wysokości tego trójkąta (wynika to z własności trójkąta równobocznego, to jego środek ciężkości, przecinają się tak wszystkie wysokości i spada na ten punkt wysokość całego ostrosłupa [tex]H[/tex]).
[tex]|FE|=\frac{1}{3}\cdot h_p= \frac{5\sqrt{3} }{6}[/tex]
Ściana boczna [tex]DBC[/tex] to też trójkąt równoboczny, więc jej wysokość [tex]DE[/tex]wynosi:
[tex]|DE|=h_{sb}=\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{5\sqrt{3} }{2}[/tex]
Cosinus to stosunek tych dwóch odcinków:
[tex]cos\alpha =\frac{|FE|}{|DE|}=\frac{5\sqrt{3} }{6}:\frac{5\sqrt{3} }{2}=\frac{5\sqrt{3} }{6}\cdot\frac{2}{5\sqrt{3} }=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex]
