Odpowiedź:
a)
D: x ≠ 5/2 i x ≠ - 5/2 to D: x ∈ R \ {- 5/2; 5/2},
x1 = - √(5/2) i x2 = √(5/2)
b)
D: x ≠ 2 i x ≠ - 2 to D: x ∈ R \ {- 2; 2}, x = - 3
c)
D: x ≠ 5 i x ≠ - 2 to D: x ∈ R \ {- 2; 5}
x1 = (4 - 2√2)/4 = (2 - √2)/2, x2 = (4 + 2√2)/4 = (2 + √2)/2
Szczegółowe wyjaśnienie:
a)
Do mianownika zastosujemy wzór skróconego mnożenia:
a² - b² = (a – b)∙(a + b) to 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x - 5)(2x + 5) to
D: 2x - 5 ≠ 0 i 2x + 5 ≠ 0 to x ≠ 5/2 i x ≠ - 5/2 to
D: x ∈ R \ {- 5/2; 5/2}
[najpierw wyznaczamy dziedzinę, czy to dziedzinę równania czy f(x), zawsze, nie ma znaczenia czy było polecenie czy nie - rozwiązanie bez wyznaczenia dziedziny jest zawsze błędem. Ostatni zapisz (pogrubiony)
wypowiemy następująco: iks należy do zbioru liczb rzeczywistych minus zbiór dwuelementowy: - 5/2; 5/2, lub: iks należy do zbioru liczb rzeczywistych, za wyjątkiem zbioru dwuelementowego: - 5/2; 5/2.]
to
3x/(2x - 5)(2x + 5) = (x - 1)/(2x - 5) /•(2x - 5)(2x + 5) to
3x = (x - 1)(2x + 5) = 2x² - 2x + 5x - 5 = 3x to 2x² - 5 = 0 to 2x² = 5 to
x² = 5/2 to x1 = - √(5/2) i x2 = √(5/2) są rozwiązaniami równania,
gdzie x1, x2, oznacza x ze znaczkiem 1, x ze znaczkiem 2.
b)
D: x - 2 ≠ 0 i x + 2 ≠ 0 to x ≠ 2 i x ≠ - 2 to D: x ∈ R \ {- 2; 2}
Tutaj również do mianownika zastosujemy ten wzór skróconego mnożenia jak w przykładzie a):
x² - 4 = (x - 2)(x + 2) to 3/(x - 2) = 2/(x + 2) + 7/(x - 2)(x + 2) /•(x - 2)(x + 2)
to 3(x + 2) = 2(x - 2) + 7 to 3x + 6 = 2x - 4 + 7 to 3x - 2x = - 3 to
x = - 3 jest rozwiązaniem równania.
c)
x² - 3x - 10 = 0 mamy do rozwiązania równanie w postaci ogólnej
ax² + bx + c = 0, gdzie wyróżnik Δ = b² - 4ac, x1 = (- b - √Δ)/2a
x2 = (- b + √Δ)/2a to Δ = 9 + 40 = 49 to √Δ = √49 = 7
to x1 = (3 - 7)/2 = - 2 i x2 = (3 + 7)2 = 5 to x² - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)
D: x ≠ 5 i x ≠ - 2 to D: x ∈ R \ {- 2; 5}
4/(x + 2)(x - 5) = x/(x - 5) + (x - 1)/(x + 2) /•(x + 2)(x - 5) to
4 = x(x + 2) + (x - 1)(x - 5) to 4 = x² + 2x + x² - x - 5x + 5 = 2x² - 4x + 5 = 4
to 2x² - 4x + 1 = 0 Δ = 16 - 8 = 8 √Δ = √8 = 2√2 to
x1 = (4 - 2√2)/4 = (2 - √2)/2 x2 = (4 + 2√2)/4 = (2 + √2)/2
są rozwiązaniami równania.
