Odpowiedź :
Zacznijmy od asymptoty pionowej.
Policzmy granice jednostronne:
[tex]\lim_{x \to 0^-} (\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}+3)=[0-\frac{4}{0^-}+3]=+\infty\\ \lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}+3)=[0-\frac{4}{0^+}+3]=-\infty\\\lim_{x \to 3^+} (\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}+3)=[\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+3]=3\frac{1}{6}\neq \infty[/tex]
Zatem funkcja ma asymptotę pionową postaci x=0. Funkcja nie ma asymptoty w x=-3. (Dla x=3 liczyłem tylko granicę prawostronną, bo dziedzina funkcji jest dla x>-3.)
Sprawdźmy, czy istnieje asymptota pozioma.
Policzmy granicę jednostronną:
[tex]\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}+3)=[+\infty-0+3]=+\infty[/tex]
Zatem nie istnieją asymptoty poziome. (Liczyłem tylko granicę prawostronną, bo z lewej strony dziedzina zaczyna się od -3, więc nie można tu mówić o granice w [tex]-\infty[/tex].)
Sprawdźmy, czy istnieją asymptoty ukośne.
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}+3}{x}=\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2}-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x})=\frac{1}{2}\\\lim_{x \to +\infty} (f(x)-\frac{1}{2}x)=\lim_{x \to +\infty}(\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}+3-\frac{1}{2}x)=\lim_{x \to +\infty}(-\frac{4}{x}+3)=3[/tex]
Podobnie jak wyżej, nie ma sensu liczyć granice w [tex]-\infty[/tex].
Ostatecznie istnieje asymptota ukośna prawostronna postaci [tex]y=\frac{1}{2}x+3[/tex].