[tex]f(x)=(x^2-x+\frac{1}{3})e^{3x+2}[/tex]
Policzmy pierwszą pochodną.
[tex]f'(x)=(x^2-x+\frac{1}{3})'*e^{3x+2}+(x^2-x+\frac{1}{3})*(e^{3x+2})'=(2x-1)e^{3x+2}+(x^2-x+\frac{1}{3})*e^{3x+2}*(3x+2)'=(2x-1)e^{3x+2}+(x^2-x+\frac{1}{3})*e^{3x+2}*3=(2x-1)e^{3x+2}+(3x^2-3x+1)*e^{3x+2}=(2x-1+3x^2-3x+1)e^{3x+2}=(3x^2-x)e^{3x+2}[/tex]
Policzmy drugą pochodną.
[tex]f''(x)=(3x^2-x)'*e^{3x+2}+(3x^2-x)*(e^{3x+2})'=(6x-1)e^{3x+2}+(3x^2-x)*e^{3x+2}*(3x+2)'=(6x-1)e^{3x+2}+(3x^2-x)*e^{3x+2}*3=(6x-1)e^{3x+2}+(9x^2-3x)*e^{3x+2}=(6x-1+9x^2-3x)e^{3x+2}=(9x^2+3x-1)e^{3x+2}[/tex]
Wyznaczmy punkty przegięcia funkcji. W tym celu znajdźmy miejsca zerowe 2 pochodnej. Zauważmy, że wyrażenie [tex]e^{3x+2}[/tex] jest zawsze dodatnie.
[tex]f''(x)=0\\(9x^2+3x-1)e^{3x+2}=0\\9x^2+3x-1=0\\\Delta=3^2-4*9*(-1)=9+36=45\\\sqrt\Delta=\sqrt{45}=\sqrt{9*5}=3\sqrt5\\x_1=\frac{-3-3\sqrt5}{2*9}=\frac{-3-3\sqrt5}{18}=\frac{-1-\sqrt5}{6}\\x_2=\frac{-3+3\sqrt5}{2*9}=\frac{-3+3\sqrt5}{18}=\frac{-1+\sqrt5}{6}[/tex]
Ponadto wyznaczmy przedziały, w których 2 pochodna jest dodatnia i ujemna.
[tex]f''(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{6})\cup(\frac{-1+\sqrt5}{6},+\infty)\\f''(x)<0\Leftrightarrow x\in(\frac{-1-\sqrt5}{6},\frac{-1+\sqrt5}{6})[/tex]
Zatem ostatecznie:
- punkty przegięcia funkcji są dla [tex]x\in\{\frac{-1-\sqrt5}{6},\frac{-1+\sqrt5}{6}\}[/tex]
- funkcja jest wypukła dla [tex]x\in(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{6})\cup(\frac{-1+\sqrt5}{6},+\infty)[/tex]
- funkcja jest wklęsła dla [tex]x\in(\frac{-1-\sqrt5}{6},\frac{-1+\sqrt5}{6})[/tex]
