Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x)=-x^{4}+4x^{3}-2x^{2}+12x[/tex]
Dziedzina:
[tex]D: x \in \mathbb{R}[/tex]
Pochodna:
[tex]$f'(x)=-4x^{3}+12x^{2}-4x+12[/tex]
Monotoniczność:
Funkcja jest malejąca, gdy [tex]f'(x)<0[/tex] :
[tex]-4x^{3}+12x^{2}-4x+12<0[/tex]
[tex]-x^{3}+3x^{2}-x+3<0[/tex]
[tex]-x^{2}(x-3)-(x-3)<0[/tex]
[tex](x-3)(-x^{2}-1)<0[/tex]
[tex](x-3)(x^{2}+1)>0 \iff x-3>0 \iff x>3[/tex]
Zatem funkcja jest malejąca w przedziale [tex](3,\infty)[/tex].
Analogicznie uzyskamy, że funkcja jest rosnąca w przedziale [tex](-\infty,3)[/tex].
Ekstrema:
[tex]f'(x)=0 \iff x=3[/tex]
Na podstawie powyższych rozważań (warunek wystarczający istnienia ekstremum) otrzymujemy:
Funkcja osiąga maksimum lokalne dla [tex]x=3[/tex] równe [tex]f(3)=45[/tex].
