Objętość takiego graniastosłupa:
[tex]V=S\cdot H=\frac{6a^2\sqrt3}{4}\cdot H\\V=\frac{3a^2H\sqrt3}{2}[/tex]
Natomiast jego pole powierzchni (bez pokrywy górnej)
[tex]P_C=S+S_b=\frac{3a^2\sqrt3}{2}+6aH[/tex]
Na podstawie informacji o objętości można wyznaczyć wysokość:
[tex]H=\frac{2V}{3a^2\sqrt3}[/tex]
i wstawić ją do wzoru na pole powierzchni
[tex]P_c(a)=\frac{3a^2\sqrt3}{2}+\frac{12V}{3a\sqrt3}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}+\frac{4V}{a\sqrt3}[/tex]
uzyskaliśmy w ten sposób funkcyjną zależność, można zatem napisać warunek konieczny istnienia ekstremum
[tex]\frac{dP_C}{da}=\frac{6a\sqrt3}{2}-\frac{4V}{a^2\sqrt3}=0\\6a^3\cdot3=8V\\a=\sqrt[3]{\frac{4}{9}V}\\H=\frac{2V}{3\sqrt3\cdot(4V/9)^{2/3}}=\sqrt[3]{\frac{V}{2\sqrt{3}}}[/tex]
Pozostało jeszcze sprawdzić, czy to ekstremum to minimum, czy maksimum:
[tex]\frac{d^2P_C}{da^2}=3\sqrt{3}+\frac{8V}{a^3\sqrt3}>0[/tex]
czyli mamy minimum.
pozdrawiam
