2.
Mamy wyznaczyć współrzędne wierzchołka [tex]W(x_w,y_w)[/tex] z podanych wzorów oraz przedstawić funkcję w postaci kanonicznej [tex]f(x)=a(x-x_w)^2+y_w[/tex]
Uwaga: zauważ, że w tym wzorze jest " [tex]-x_w[/tex] ", więc to, co wyjdzie jako [tex]x_w[/tex] trzeba wpisać z przeciwnym znakiem do wzoru funkcji kanonicznej.
[tex]x_w=\frac{-b}{2a} \\y_w=\frac{-\Delta}{4a}\\\Delta=b^2-4ac[/tex]
Współczynniki a, b, c bierzemy z postaci ogólnej [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex].
a) [tex]f(x)=x^2+2x+3[/tex]
Współczynniki w tej funkcji to:
[tex]a=1,b=2,c=3[/tex] i to wykorzystujemy we wzorach:
[tex]\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8[/tex]
[tex]x_w=\frac{-b}{2a}= \frac{-2}{2\cdot1}=-1[/tex]
[tex]y_w=\frac{-\Delta}{4a} =\frac{-(-8)}{4\cdot1}=2[/tex]
[tex]f(x)=a(x-x_w)^2+y_w=(x+1)^2+2[/tex]
Uwaga: gdy [tex]a=1[/tex] to nie piszemy tego przed nawiasem.
b) [tex]f(x)=x^2-4x-2[/tex]
[tex]a=1,b=-4,c=-2[/tex]
[tex]\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdt(-2)=16+8=24[/tex]
[tex]x_w=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]y_w=\frac{-24}{4}=-6[/tex]
[tex]f(x)=(x-2)^2-6[/tex]
c) [tex]f(x)=-x^2-2x+1[/tex]
[tex]a=-1,b=-2,c=1[/tex]
[tex]\Delta=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot1=4+4=8[/tex]
[tex]x_w=\frac{2}{-2}=-1[/tex]
[tex]y_w=\frac{-8}{-4}=2[/tex]
[tex]f(x)=-(x+1)^2+2[/tex]
d) [tex]f(x)=-4x^2+8x+1[/tex]
[tex]a=-4,b=8,c=1[/tex]
[tex]\Delta=8^2-4\cdot(-4)\cdot1=64+16=80[/tex]
[tex]x_w=\frac{-8}{-8}=1[/tex]
[tex]y_w=\frac{-80}{-16}=\frac{10}{2}=5[/tex]
[tex]f(x)=-4(x-1)^2+5[/tex]
e) [tex]f(x)=2x^2+8x-7[/tex]
[tex]a=2,b=8,c=-7[/tex]
[tex]\Delta=8^2-4\cdot2\cdot(-7)=64+56=120[/tex]
[tex]x_w=\frac{-8}{4}=-2[/tex]
[tex]y_w=\frac{-120}{8}=\frac{-60}{4}=-15[/tex]
[tex]f(x)=2(x+2)^2-15[/tex]
f) [tex]f(x)=-2x^2-6x+2[/tex]
[tex]a=-2,b=-6,c=2[/tex]
[tex]\Delta=(-6)^2-4\cdot(-2)\cdot2=36+16=52[/tex]
[tex]x_w=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}[/tex]
[tex]y_w=\frac{-52}{-8}=\frac{13}{2}[/tex]
[tex]f(x)=-2(x+\frac{3}{2})^2+\frac{13}{2}[/tex]
g) [tex]f(x)=x^2-x[/tex]
[tex]a=1,b=-1,c=0[/tex]
[tex]\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot0=1[/tex]
[tex]x_w=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]y_w=\frac{-1}{4}[/tex]
[tex]f(x)=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}[/tex]
h) [tex]f(x)=-2x^2+6x[/tex]
[tex]a=-2,b=6,c=0[/tex]
[tex]\Delta=6^2-4\cdot(-2)\cdot0=36[/tex]
[tex]x_w=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]y_w=\frac{-36}{-8}=\frac{9}{2}[/tex]
[tex]f(x)=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}[/tex]
i) [tex]f(x)=3x^2-8[/tex] tu nie ma w ogóle x
[tex]a=3,b=0,c=-8[/tex]
[tex]\Delta=0^2-4\cdot3\cdot(-8)=96[/tex]
[tex]x_w=\frac{-0}{6}=0[/tex]
[tex]y_w=\frac{-96}{4\cdot3}=-\frac{48}{6}=-8[/tex]
[tex]f(x)=3(x-0)^2-8=3x^2-8[/tex]
Więcej o postaci kanonicznej znajdziesz tutaj: https://brainly.pl/zadanie/12570669
Więcej o obliczaniu współrzędnych wierzchołka znajdziesz tutaj: https://brainly.pl/zadanie/12578607
3.
W tym zadaniu należy wyznaczyć [tex]x_w[/tex] z podanego wzoru, a następnie wstawić obliczony x do wzoru funkcji, będzie to [tex]y_w[/tex].
a) [tex]f(x)=2x^2+6x-3[/tex]
[tex]x_w=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}[/tex]
[tex]y_w=f(-\frac{3}{2})=2\cdot(-\frac{3}{2})^2+6\cdot(-\frac{3}{2})-3=\frac{2}{1}\cdot\frac{9}{4}-9=\frac{9}{2}-\frac{18}{2}=-\frac{9}{2}[/tex]
b) [tex]f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+4[/tex]
[tex]x_w=\frac{1}{1}=1[/tex]
[tex]y_w=f(1)=\frac{1}{2}-1+4=\frac{7}{2}[/tex]
c) [tex]f(x)=-3x^2-6x[/tex]
[tex]x_w=\frac{6}{-6}=-1[/tex]
[tex]y_w=f(-1)=-3+6=3[/tex]
4.
Postać kanoniczna funkcji [tex]a(x-x_w)^2+y_w[/tex] mówi, że wykres funkcji [tex]ax^2[/tex] został przesunięty o wektor [tex][x_w,y_w][/tex] czyli o [tex]x_w[/tex] w prawo/lewo oraz o [tex]y_w[/tex] do góry/w dół (w zależności od znaku "+"/"-").
a) w tym przykładzie widać, że to wzór skróconego mnożenia:
[tex]f(x)=x^2+2x+4=(x+2)^2[/tex]
Wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji [tex]x^2[/tex] o 2 jednostki w lewo (ponieważ [tex]x_w=-2[/tex] !!!!!!)., a [tex]y_w=0[/tex] czyli funkcja leży na osi OX i nie ma przesunięcia góra/dół.
Rysunek w załączniku.
b) [tex]f(x)=-x^2-6x-12[/tex] tu już warto policzyć deltę itd.
[tex]\Delta=(-6)^2-4\cdot(-1)\cdot(-12)=36-48=-12[/tex]
[tex]x_w=\frac{6}{-2}=-3[/tex]
[tex]y_w=\frac{12}{-4}=-3[/tex]
[tex]f(x)=-(x+3)^2-3[/tex]
Wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji [tex]-x^2[/tex] o 3 jednostki w lewo i 3 jednostki w dół.
Rysunek w zał.
c) [tex]f(x)=-x^2+4x[/tex]
[tex]\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot0=16[/tex]
[tex]x_w=\frac{-4}{-2}=2[/tex]
[tex]y_w=\frac{-16}{-4}=4[/tex]
[tex]f(x)=-(x-2)^2+4[/tex]
Wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji [tex]-x^2[/tex] o 2 jednostki w prawo i 4 jednostki do góry.
Rysunek w zał.
Więcej o przesuwaniu funkcji:
https://brainly.pl/zadanie/8305582
https://brainly.pl/zadanie/13383074
