Funkcje wymierne.
Dziedzina funkcji (D) jest zbiór, na którym funkcja jest określona.
Funkcja wymierna jest określona na zbiorze liczb rzeczywistych wyłączeniem tych liczb, które w mianowniku dają nam wartość wyrażenia równą 0 (mianownik ułamka musi być różny 0).
W naszych przykładach musimy zastrzec niezerowość mianownika (określić dziedzinę funkcji D) oraz obliczyć wartości funkcji dla x = -3, x = 1 i x = 3.
[tex]a)\ f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}\\\\\mathbb{D}:\qquad x^2-4\neq0\qquad|+4\\\\x^2\neq4\Rightarrow x\neq\pm\sqrt4\\\\x\neq-2\ \wedge\ x\neq2\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-2,\ 2\}}[/tex]
Obliczamy wartości funkcji dla zadanych wartości argumentów podstawiając do wzoru daną wartość x:
[tex]f(-3) = \dfrac{(-3)^2+2\cdot(-3)}{(-3)^2-4}=\dfrac{9-6}{9-4}=\dfrac{3}{5}\\\\f(1)=\dfrac{1^2+2\cdot1}{1^2-4}=\dfrac{1+2}{1-4}=\dfrac{3}{-3}=-1\\\\f(3)=\dfrac{3^2+2\cdot3}{3^2-4}=\dfrac{9+6}{9-4}=\dfrac{15}{5}=3[/tex]
[tex]b)\ f(x)=\dfrac{x^2+21}{x^2-3}\\\\\mathbb{D}:\qquad x^2-3\neq0\qquad|+3\\\\x^2\neq3\Rightarrow x\neq\pm\sqrt3\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-\sqrt3,\ \sqrt3\}}[/tex]
[tex]f(-3)=\dfrac{(-3)^2+21}{(-3)^2-3}=\dfrac{9+21}{9-3}=\dfrac{30}{6}=5\\\\f(1)=\dfrac{1^2+21}{1^2-3}=\dfrac{1+21}{1-3}=\dfrac{22}{-2}=-11\\\\f(3)=\dfrac{3^2+21}{3^2-3}=\dfrac{9+21}{9-3}=\dfrac{30}{6}=5[/tex]
[tex]c)\ f(x)=\dfrac{x+0,5}{4x^2-1}\\\\\mathbb{D}:\qquad4x^2-1\neq0\qquad|+1\\\\4x^2\neq1\qquad|:4\\\\x^2\neq\dfrac{1}{4}\Rightarrow x\neq\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\\\x\neq-\dfrac{1}{2}\ \wedge\ x\neq\dfrac{1}{2}\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right\}}[/tex]
[tex]f(-3)=\dfrac{-3+0,5}{4\cdot(-3)^2-1}=\dfrac{-2,5}{4\cdot9-1}=\dfrac{-2,5}{36-1}=\dfrac{-2,5}{35}=-\dfrac{25}{350}=-\dfrac{1}{14}\\\\f(1)=\dfrac{1+0,5}{4\cdot1^2-1}=\dfrac{1,5}{4\cdot1-1}=\dfrac{1,5}{4-1}=\dfrac{1,5}{3}=\dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}\\\\f(3)=\dfrac{3+0,5}{4\cdot3^2-1}=\dfrac{3,5}{4\cdot9-1}=\dfrac{3,5}{36-1}=\dfrac{3,5}{35}=\dfrac{35}{350}=\dfrac{1}{10}[/tex]
[tex]d)\ f(x)=\dfrac{3x^2-6x}{4x^2-9}\\\\\mathbb{D}:\qquad4x^2-9\neq0\qquad|+9\\\\4x^2\neq9\qquad|:4\\\\x^2\neq\dfrac{9}{4}\Rightarrow x\neq\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\\\x\neq-\dfrac{3}{2}\ \wedge\ x\neq\dfrac{3}{2}\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right\}}[/tex]
[tex]f(-3)=\dfrac{3\cdot(-3)^2-6\cdot(-3)}{4\cdot(-3)^2-9}=\dfrac{3\cdot9+18}{4\cdot9-9}=\dfrac{27+18}{36-9}=\dfrac{45}{27}=\dfrac{5}{3}\\\\f(1)=\dfrac{3\cdot1^2-6\cdot1}{4\cdot1^2-9}=\dfrac{3\cdot1-6}{4\cdot1-9}=\dfrac{3-6}{4-9}=\dfrac{-3}{-5}=\dfrac{3}{5}\\\\f(3)=\dfrac{3\cdot3^2-6\cdot3}{4\cdot3^2-9}=\dfrac{3\cdot9-18}{4\cdot9-9}=\dfrac{27-18}{36-9}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}[/tex]
