Pomoże ktoś rozwiązać? Określ dla jakich wartości parametru K ciąg o wyrazie ogólnym aₙ= kn+5/(k-2)n-7


a) Ma granicę równą 1/3

b) Ma granicę równą 0

c) Jest rozbieżny do plus nieskończoności

d) Jest rozbieżny do minus nieskończoności


Odpowiedź :

Rozwiązanie:

Ciąg:

[tex]$a_{n}=\frac{kn+5}{(k-2)n-7}[/tex]

Granica:

[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =\frac{kn+5}{(k-2)n-7} = \lim_{n \to \infty}\frac{n\Big(k+\frac{5}{n}\Big) }{n\Big((k-2)-\frac{7}{n}\Big)} =\frac{k}{k-2}[/tex]

Zatem:

[tex]a)[/tex]

[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n \iff \frac{k}{k-2} =\frac{1}{3}\iff 3k=k-2 \iff k=-1[/tex]

[tex]b)[/tex]

[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =0 \iff \frac{k}{k-2} = 0 \iff k=0[/tex]

[tex]c)[/tex]

Takie [tex]k[/tex] nie istnieje.

[tex]d)[/tex]

Łatwo zauważyć, że dla [tex]k=2[/tex] zachodzi:

[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =-\lim_{n \to \infty} \frac{2n+5}{7} =-\infty[/tex]