Rozwiązanie:
Ciąg:
[tex]$a_{n}=\frac{kn+5}{(k-2)n-7}[/tex]
Granica:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =\frac{kn+5}{(k-2)n-7} = \lim_{n \to \infty}\frac{n\Big(k+\frac{5}{n}\Big) }{n\Big((k-2)-\frac{7}{n}\Big)} =\frac{k}{k-2}[/tex]
Zatem:
[tex]a)[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n \iff \frac{k}{k-2} =\frac{1}{3}\iff 3k=k-2 \iff k=-1[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =0 \iff \frac{k}{k-2} = 0 \iff k=0[/tex]
[tex]c)[/tex]
Takie [tex]k[/tex] nie istnieje.
[tex]d)[/tex]
Łatwo zauważyć, że dla [tex]k=2[/tex] zachodzi:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =-\lim_{n \to \infty} \frac{2n+5}{7} =-\infty[/tex]