Odpowiedź:
[tex]\boxed{\int(5x-x^2)\cos2x\ dx=\dfrac{5}{2}x\sin2x+\dfrac{5}{4}\cos2x+\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x+C}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Metoda - całkowanie przez części:
[tex]\int u v'=uv-\int u'v[/tex]
[tex]\int(5x-x^2)\cos2x\ dx=\int(5x\cos2x-x^2\cos2x)dx\\\\=5\int x\cos2x\ dx-\int x^2\cos2x\ dx[/tex]
Zajmiemy się całkami osobno.
[tex]\int x\cos2x\ dx\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}u=x&v'=\cos2x\\u'=1&v=\dfrac{1}{2}\sin2x\end{array}\right] \Rightarrow x\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x-\int 1\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x\ dx\\\\=\dfrac{1}{2}x\sin2x-\dfrac{1}{2}\int\sin2x\ dx=\dfrac{1}{2}x\sin2x-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\cos2x\right)\\\\=\boxed{\dfrac{1}{2}x\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x}[/tex]
[tex]\int x^2\cos2x\ dx\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}u=x^2&v'=\cos2x\\u'=2x&v=\dfrac{1}{2}\sin2x\end{array}\right] \Rightarrow x^2\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x-\int 2x\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x\ dx\\\\=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\int x\sin2x\ dx=(*)\\\\\int x\sin2x\ dx\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}u=x&v'=\sin2x\\u'=1&v=-\dfrac{1}{2}\cos2x\end{array}\right] \Rightarrow x\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\cos2x\right)-\int 1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\cos2x\right)dx[/tex]
[tex]=-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{2}\int\cos2x\dx=-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x=-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x[/tex]
[tex](&*)=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\left(-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x\right)\\\\=\boxed{\dfrac{1}{2}x^2\sin2x+\dfrac{1}{2}x\cos2x-\dfrac{1}{4}\sin2x}[/tex]
Składamy rozwiązanie:
[tex]\int(5x-x^2)\cos2x\ dx=5\left(\dfrac{1}{2}x\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x\right)-\left(\dfrac{1}{2}x^2\sin2x+\dfrac{1}{2}x\cos2x-\dfrac{1}{4}\sin2x\right)\\\\=\dfrac{5}{2}x\sin2x+\dfrac{5}{4}\cos2x+\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x+C[/tex]
