Jeżeli pochodna funkcji jest wartością stałą w jakimś przedziale
np. f'(x) = 5 dla x ∈ (0, 5), to oznacza, że funkcja w tym przedziale rośnie, ale rośnie jednostajnie, czyli tak samo szybko w każdym punkcie.
Jeżeli pochodna nie wyjdzie nam stała, to wtedy możemy wnioskować, że funkcja rośnie coraz szybciej, coraz wolniej, itd.
Wiemy to ze znaku drugiej pochodnej, jeżeli funkcja rośnie i jest wypukła, to rośnie coraz szybciej, jeżeli rośnie i jest wklęsła, to rośnie coraz wolniej.
Zobacz na rysunek w załączniku.
a)
[tex]f'(x)=\frac{(x^{2}-x+4)'x-(x^{2}-x+4)x'}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-x-x^{2}+x+4}{x^{2}}=\frac{x^{2}+4}{x^{2}}\\f'(x)=0\iff \:\:x=2 \:\lor\: x=-2\\f'(x)>0\iff\:\:x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\\f'(x)<0\iff\:\:x\in(-2;0),x\in(0;2)\\\\f''(x)=\frac{(x^{2}+4)'x^{2}-(x^{2}+4)(x^{2})'}{x^{4}}=\frac{2x^{3}-2x^{3}+8x}{x^{4}}=\frac{8}{x^{3}}\\f''(x)=0\iff x\in\varnothing\\f''(x)<0\iff x\in(-\infty;0)\\f''(x)>0\iff x\in(0;+\infty)[/tex]
Z powyższych wynika, że funkcja rośnie w przedziale:
(-∞ ; -2) ∪ (2 ; +∞) i maleje w (-2 ; 0) i (0 ; 2).
Dodatkowo wiemy, że:
* dla x∈(-∞ ; -2) f'(x) > 0, f''(x) < 0 ----> rośnie coraz wolniej
* dla x∈(-2 ; 0) f'(x) < 0, f''(x) < 0 ----> maleje coraz szybciej
* dla x∈(0 ; 2) f'(x) < 0, f''(x) > 0 ----> maleje coraz wolniej
* dla x∈(2 ; +∞) f'(x) > 0, f''(x) > 0 ----> rośnie coraz szybciej
(-_-(-_-)-_-)
