a)
Zał.
[tex]x^2+2x+1\neq 0\land x+1\neq 0\land x-5\neq 0\\(x+1)^2\neq 0\land x\neq -1\land x\neq 5\\x+1\neq 0\land x\neq -1\land x\neq 5\\x\neq -1\land x\neq -1\land x\neq 5\\x\neq -1\land x\neq 5\\x\in\mathbb{R}-\{-1,5\}[/tex]
[tex]\frac{125-x^3}{x^2+2x+1}:\frac{x-5}{x+1}=\frac{(5-x)(25+5x+x^2)}{(x+1)^2}*\frac{x+1}{x-5}=-\frac{(x-5)(x^2+5x+25)}{(x+1)^2}*\frac{x+1}{x-5}=-\frac{x^2+5x+25}{x+1}[/tex]
b)
Zał.
[tex]x-1\neq 0\land x^2+x+1\neq0\land x^2+1\neq0[/tex]
Dla drugiego związku [tex]\\\Delta_1=1^2-4*1*1=-3<0[/tex], więc tutaj [tex]x\in\mathbb{R}[/tex].
Dla trzeciego związku [tex]\Delta_2=0^2-4*1*1=-4<0[/tex], więc tutaj [tex]x\in\mathbb{R}[/tex].
Ostatecznie
[tex]x\neq 1\\x\in\mathbb{R}-\{1\}[/tex]
[tex]\frac{x^3-1}{x-1}:\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}*\frac{x^2+1}{x^2+x+1}=x^2+1[/tex]
c)
Zał.
[tex]x^2-3x+9\neq0\land x^2+4x\neq0\land x^3+27\neq0[/tex]
Dla pierwszego związku [tex]\Delta=(-3)^2-4*1*9=-27<0[/tex], więc tutaj [tex]x\in\mathbb{R}[/tex].
[tex]x(x+4)\neq0 \land x^3\neq-27\\x\neq0\land x\neq-4\land x\neq -3\\x\in\mathbb{R}-\{-4,-3,0\}[/tex]
[tex]\frac{x+4}{x^2-3x+9}:\frac{x^2+4x}{x^3+27}=\frac{x+4}{x^2-3x+9}:\frac{x(x+4)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=\frac{x+4}{x^2-3x+9}*\frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x(x+4)}=\frac{x+3}{x}[/tex]