(1) Równania ruchu dla kamienia mają następującą postać.
[tex]x(t)=x_{0}+v_{0}t=v_{0}t\\y(t)=y_{0}-\frac{1}{2}at^{2}=h_{0}-\frac{1}{2}gt^{2}[/tex]
(2) Wyznaczamy zasięg rzutu(Z) - najpierw wyznaczymy czas ruchu z równania y(t), potem wstawimy go do równania na x(t).
[tex]y(t)=0\iff0=h_{0}-\frac{1}{2}g{t_{k}}^{2}\iff t_{k}=\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}\\Z=x(t_{k})=v_{0}t_{k}=v_{0}\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}[/tex]
Z wyprowadzonego równania wynika, że wysokość początkowa powinna być 9 razy większa, aby zwiększyć zasięg rzutu trzykrotnie.
(3) Wyznaczamy wartość prędkości w połowie czasu ruchu.
W tym celu skorzystamy z rozkładu prędkości v na wektory wzdłuż osi x i osi y.
[tex]\vec{v}=\vec{v_{x}}+\vec{v_{y}}\\v=\sqrt{{v_{x}}^2+{v_{y}}^{2}}\\v_{x}=v_{0}\\v_{y}=-g*\frac{1}{2}t_{k}=-g*\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}\\v=\sqrt{{v_{0}}^{2}+gh_{0}}[/tex]
(4) Wyznaczamy równanie toru ruchu, w tym celu wstawiamy t z równania x(t) do równania y(t).
[tex]x(t)=v_{0}t\implies t=\frac{x(t)}{v_{0}}\\y(t)=h_{0}-\frac{1}{2}gt^{2}\\y(t)=h_{0}-\frac{1}{2}g\frac{x(t)^{2}}{{v_{0}}^{2}}=h_{0}-\frac{g}{2{v_{0}}^{2}}x(t)^{2}\\y(t)=-\frac{g}{2{v_{0}}^{2}}x(t)^{2}+h_{0}[/tex]
W tym momencie należy policzyć pochodną z funkcji y(t) po położeniu. Pochodna ta będzie równanie prostej stycznej do wykresu w dowolnym punkcie toru.
[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{g}{{v_{0}}^{2}}x[/tex]
(5) Do równania na pochodną wstawiam x(¹/₂tk) i w ten sposób otrzymuję wartość tangensa kąta alfa nachylenia wektora prędkości v do podłoża.
[tex]tg\alpha =-\frac{g}{{v_{0}}^{2}}*\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{h_{0}g}{{v_{0}}^{4}}}[/tex]
Wartość kąta będzie funkcją odwrotną, czyli:
[tex]\alpha=|arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{h_{0}g}{{v_{0}}^{4}}})|[/tex]
(-_-(-_-)-_-)
