Odpowiedź:
Na początek przypomnijmy wzory na objętość graniastosłupa (sześcian to szczególny przypadek graniastosłupa) i ostrosłupa:
[tex]V_g = P_p\cdot H\\V_o = \frac{1}{3}P_p\cdot H[/tex]
Z treści zadania wiemy, że ostrosłup ma taką samą wysokość, jak sześcian. Widzimy też, że mają taką samą podstawę. Stąd wnioskujemy, że objętość naszego ostrosłupa wynosi 1/3 objętości sześcianu:
[tex]V_{ostroslupa} = \frac{1}{3}V_{szescianu}[/tex]
Przyjmijmy oznaczenia: [tex]V_o[/tex] - objętość ostrosłupa, [tex]V_s[/tex] - objętość sześcianu.
a) Odczytujemy z rysunku, że piasek sięga 1/3 wysokości sześcianu (podziałka dzieli wysokość na 6 odcinków i piasek sięga drugiej kreski: 2/6 = 1/3).
Pamiętamy, że [tex]\frac{1}{3}\cdot V_s = V_o[/tex].
Zatem po odwróceniu piasek zajmie cały ostrosłup.
b) Piasek zajmuje cały sześcian. Wracamy do naszego wzoru: [tex]V_o=\frac{1}{3}V_s[/tex]. Po odwróceniu ostrosłup "przyjmie" 1/3 objętości sześcianu, czyli tutaj 1/3 piasku. Zostanie
[tex]V_s-V_o=V_s-\frac{1}{3}V_s=\frac{2}{3}V_s=\frac{4}{6}V_s[/tex]
Piasek zajmie zatem cały ostrosłup i jeszcze 2/3 wysokości sześcianu - zaznaczamy poziom piasku na czwartek kresce podziałki.
c) Tym razem piasek wypełnia sześcian w 2/3 (sięga 4. kreski). Jak już ustaliliśmy wyżej, 1/3 objętości sześcianu to objętość całego ostrosłupa. Zatem po odwróceniu wypełni się ostrosłup oraz 1/3 objętości sześcianu (zaznaczamy poziom na 2. kresce, bo 1/3 = 2/6).
d) W tym przypadku mamy sześcian wypełniony w połowie (1/2 = 3/6). Jak wyżej, [tex]V_o=\frac{1}{3}V_s=\frac{2}{6}V_s[/tex]. Zostaje nam [tex]\frac{3}{6}V_s-\frac{2}{6}V_s=\frac{1}{6}V_s[/tex].
Zatem po odwróceniu piasek wypełni ostrosłup i sięgnie 1/6 wysokości sześcianu (1. kreska).
