Szczegółowe wyjaśnienie:
W każdym przypadku możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów,
bo mamy podane długości dwóch boków trójkąta i kąt między nimi zawarty.
[tex]a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc* cos\alpha \\b^{2} =a^{2} +c^{2} -2acos\beta \\c^{2} =a^{2}+ b^{2} -2abcos\gamma[/tex]
a)
[tex]a=4[/tex] [tex]b=\sqrt{3}[/tex] γ [tex]=30^{o}[/tex] [tex]c=?[/tex]
[tex]c^{2} =a^{2}+ b^{2} -2abcos\gamma[/tex]
[tex]c^{2}= 4^{2}+(\sqrt{3}) ^{2} -2*4*\sqrt{3} * cos30^{o}[/tex] ← [tex]cos30^{o} =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]c^{2} =16+3-8\sqrt{3} *\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]c^{2} =19 -\frac{8\sqrt{3}*\sqrt{3} }{2} =19-\frac{8*3}{2}=19-12=7[/tex]
[tex]c^{2} =7[/tex]
[tex]c=\sqrt{7}[/tex]
Długość trzeciego boku jest równa √7.
b)
[tex]b=5[/tex] [tex]c=3\sqrt{2}[/tex] [tex]\alpha =45^{o}[/tex] [tex]a=?[/tex]
[tex]a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc* cos\alpha[/tex]
[tex]a^{2} =5^{2} +(3\sqrt{2}) ^{2} -2*5*3\sqrt{2} * cos45^{o}[/tex] ← [tex]cos45^{o} =\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]a^{2} =25+9*2-30\sqrt{2} *\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]a^{2}= 25+18-\frac{30*2}{2} =43-30=13[/tex]
[tex]a^{2}=13[/tex]
[tex]a=\sqrt{13}[/tex]
Trzeci bok ma długość √13.
c)
[tex]a=2[/tex] [tex]b=6[/tex] [tex]\gamma=120^{o}[/tex] [tex]c=?[/tex]
[tex]c^{2} =a^{2}+ b^{2} -2abcos\gamma[/tex]
[tex]c^{2} =2^{2}+ 6^{2} -2*2*6*cos120^{o}[/tex]
[tex]c^{2} =4+36-24*cos(180^{o}-60^{o} )[/tex]
[Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: [tex]cos(180^{o} -\alpha )=-cos\alpha[/tex] ]
[tex]c^{2} =40-24*(-cos60^{o} )[/tex]
[tex]c^{2} =40-24*(-\frac{1}{2} )=40+12=52[/tex] ← [tex]cos60^{o} =\frac{1}{2}[/tex]
[tex]c^{2} =52[/tex]
[tex]c=\sqrt{52}=\sqrt{4*13} =2\sqrt{13}[/tex]
[tex]c=2\sqrt{13}[/tex]
Trzeci bok ma długość 2√13.
d)
[tex]a=2\sqrt{3}[/tex] [tex]c=4[/tex] [tex]\beta =150^{o}[/tex] [tex]b=?[/tex]
[tex]b^{2} =a^{2} +c^{2} -2acos\beta[/tex]
[tex]b^{2} =(2\sqrt{3}) ^{2} +4^{2} -2*2\sqrt{3} * cos150^{o}[/tex]
[tex]b^{2} =4*3+16-4\sqrt{3}*cos(180^{o} -30^{o} )[/tex]
[Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: [tex]cos(180^{o} -\alpha )=-cos\alpha[/tex] ]
[tex]b^{2} =4*3+16-4\sqrt{3}*(-cos30^{o} )[/tex] ← [tex]cos30^{o} =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]b^{2} =12+16-4\sqrt{3}*(-\frac{\sqrt{3} }{2} )[/tex]
[tex]b^{2} =28+\frac{4\sqrt{3} *\sqrt{3} }{2} =28+\frac{4*3}{2}=28+6=34[/tex]
[tex]b^{2} =34[/tex]
[tex]b=\sqrt{34}[/tex]
Trzeci bok ma długość √34.
