Odpowiedź :
W zadaniach wykorzystamy tw. cosinusów:
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha[/tex]
Zadanie 1.
Policzmy bok rombu.
[tex]Obw=56\\4a=56\ |:4\\a=14[/tex]
Z tw. cosinusów:
[tex](8\sqrt6)^2=14^2+14^2-2*14*14*\cos\alpha\\64*6=196+196-392\cos\alpha\\384=392-392\cos\alpha\\392\cos\alpha=392-384\\392\cos\alpha=8\ |:392\\\cos\alpha=\frac{8}{392}\\\cos\alpha=\frac{1}{49}\\\cos\alpha\approx0,0204\\\alpha\approx88,8^\circ\\\beta\approx180^\circ-88,8^\circ=91,2^\circ[/tex]
Odp: Romb ma kąty o miarach [tex]88,8^\circ,\ 91,2^\circ,\ 88,8^\circ,\ 91,2^\circ[/tex].
Zadanie 2.
Policzmy sinus kąta między bokami 4 i 5 ze wzoru na pole [tex]P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha[/tex].
[tex]4\sqrt6=\frac{1}{2}*4*5*\sin\alpha\\4\sqrt6=10\sin\alpha\ |:10\\\sin\alpha=\frac{4\sqrt6}{10}\\\sin\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}[/tex]
Policzmy cosinus kąta alfa z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\(\frac{2\sqrt6}{5})^2+\cos^2\alpha=1\\\frac{4*6}{25}+\cos^2\alpha=1\\\frac{24}{25}+\cos^2\alpha=1\\\cos^2\alpha=1-\frac{24}{25}\\\cos^2\alpha=\frac{1}{25}\\\cos\alpha=\frac{1}{5}\vee\cos\alpha=-\frac{1}{5}[/tex]
Ale wiadomo, że kąt jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny, zatem
[tex]\cos\alpha=-\frac{1}{5}[/tex]
Z tw. cosinusów:
[tex]a^2=4^2+5^2-2*4*5*(-\frac{1}{5})\\a^2=16+25+8\\a^2=49\\a=7\vee a=-7<0\ \text{odrzucamy}[/tex]
Ostatecznie obwód wynosi:
[tex]Obw=4+5+7=16[/tex]