Odpowiedź:
Przeksztalcmy najpierw wzor tego ciagu:
[tex]a_n =\frac{(n+1)! -n!}{(n+1)! + n!} = \frac{n!(n+1)-n!}{n!(n+1)+n!}=\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}=\frac{n}{n+2}[/tex]
kolejno liczymy granice
[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(1+\frac{2}{n} )}= lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n} } = 1[/tex]
jesli podzielimy 2 przez bardzo duza liczbe, to dostaniemy prawie zero, a zarem granica [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0[/tex]
sprawdzmy czy ten ciag jest rosnacy czy malejacy.
1. jesli jest rosnacy to kazdy kolejny wyraz bedzie wieszy od poprzedniego
[tex]a_{n+1} > a_n\\ a_{n+1} - a_n >0\\[/tex]
2. jezeli bedzie malejacy to kazdy kolejny wyraz bedzie mniejszy od poprzedniego
[tex]a_{n+1} < a_n\\a_{n+1} -a_n<0\\[/tex]
[tex]a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+1+2}-\frac{n}{n+2} = \frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{n^{2} + 2n + n + 2 - n^{2} - 3n}{(n+3)(n+2)} = \frac{2}{(n+3)(n+2)}[/tex]
mianownik zawsze bedzie wikszy od zera wiec [tex]a_{n+1} - a_n >0[/tex] i ciag jest rosnacy
