Zadanie 1.
Rysunek w załączniku.
Oś symetrii trójkąta równobocznego jest jednocześnie symetralną jego boku, więc odcinek CD jest średnicą okręgu.
Sposób 1 (szybki):
Zauważmy, że w czworokącie ADBS przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc czworokąt ten jest rombem. Zatem wszystkie jego boki są równe, czyli |DA|=|DB|=|AS|=R. Stąd
|DA|+|DB|=R+R=2R=|DC|
Sposób 2 (rachunkowy):
Wyraźmy |DC| za pomocą długości podstawy trójkąta.
[tex]R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}*\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}\\|DC|=2R=2*\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{2a\sqrt3}{3}[/tex]
Ponadto
[tex]|AO|=\frac{a}{2}\\|OD|=|DC|-h=\frac{2a\sqrt3}{3}-\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{4a\sqrt3}{6}-\frac{3a\sqrt3}{6}=\frac{a\sqrt3}{6}[/tex]
Z tw. Pitagorasa
[tex]|DA|^2=|AO|^2+|OD|^2\\|DA|^2=(\frac{a}{2})^2+(\frac{a\sqrt3}{6})^2\\|DA|^2=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{36}\\|DA|^2=\frac{3a^2}{12}+\frac{a^2}{12}\\|DA|^2=\frac{4a^2}{12}\\|DA|^2=\frac{a^2}{3}\\|DA|=\frac{a\sqrt3}{3}[/tex]
Analogicznie
[tex]|DB|=\frac{a\sqrt3}{3}[/tex]
Ostatecznie
[tex]|DA|+|DB|=\frac{a\sqrt3}{3}+\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{2a\sqrt3}{3}=|DC|[/tex]
co kończy dowód.
Zadanie 2.
Ciąg ma być geometryczny, więc z tw. o sąsiadach:
[tex]a^2_2=a_1*a_3\\(3x-2)^2=(x+1)(2x+12)\\9x^2-12x+4=2x^2+12x+2x+12\\7x^2-26x-8=0\\\Delta=(-26)^2-4*7*(-8)=676+224=900\\\sqrt{\Delta}=30\\x_1=\frac{26-30}{2*7}=\frac{-4}{14}=-\frac{2}{7}\\x_2=\frac{26+30}{2*7}=\frac{56}{14}=4[/tex]
Ostatecznie
[tex]x\in\{-\frac{2}{7},4\}[/tex]
Zadanie 3.
Na początku było: 2 białe kule, 5 czarnych kul, razem 7 kul.
Teraz jest: 2+n białych kul, 5 czarnych kul, razem 7+n kul.
A - wylosowano kulę białą
[tex]P(A)=\frac{8}{9}\\\frac{2+n}{7+n}=\frac{8}{9}\\9(2+n)=8(7+n)\\18+9n=56+8n\\n=56-18\\n=38[/tex]
