Odpowiedź:
a,b,c= dł. boków
b=a+r r=b-a c=b+r
P=1/2 a*b=270 a*b= 540 b= 540/a
r=b-a r= 540/a -a
c= b+r= 540/a + 540/a -a = 1080/ a -a
a²+b²=c² a²+ (540/a)²= ( 1080/a -a)²
a²+ 291600/a² = 1166400/a²-2160+a² /*a²
291600= 1166400-2160a²
2160a²=874800 a²=405 a= 9√5
b= 540/9√5= 60√5/5=12√5
c= 1080/9√5 - 9√5= 120√5/5-9√5= 24√5-9√5= 15√5
Szczegółowe wyjaśnienie:
a=9√5 b= 12√5 c=15√5
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{9\sqrt5,\ 12\sqrt5,\ 15\sqrt5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli trzy liczby [tex]a,\ b,\ c[/tex] tworzą kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to
[tex]a+c=2b\qquad(1)[/tex]
Przyjmijmy [tex]a\leq b<c[/tex]
Stąd pole tego trójkąta będzie wyrażać się wzorem:
[tex]P=\dfrac{ab}{2}[/tex]
Podstawmy dane pole:
[tex]\dfrac{ab}{2}=270\qquad|\cdot2\\\\ab=540\qquad(2)[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
[tex]a^2+b^2=c^2\qquad(3)[/tex]
Otrzymujemy układ trzech równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a+c=2b&(1)\\ab=540&(2)\\a^2+b^2=c^2&(3)\end{array}\right[/tex]
Przekształćmy równanie (1) i podstawmy do (2) i (3):
[tex]a+c=2b\qquad|-c\\\boxed{a=2b-c}\qquad(1)[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}(2b-c)b=540\\(2b-c)^2+b^2=c^2\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}2b^2-bc=540\\(2b)^2-2\cdot2b\cdot c+c^2+b^2=c^2&|-c^2\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}2b^2-bc=540\\4b^2-4bc+b^2=0\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}2b^2-bc=540&|\cdot(-4)\\5b^2-4bc=0\end{array}\right\\\\[/tex]
[tex]\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}-8b^2+4bc=-2160\\5b^2-4bc=0\end{array}\right}\\.\qquad-3b^2=-2160\qquad|:(-3)\\.\qquad b^2=720\to b=\sqrt{720}\\\\b=\sqrt{144\cdot5}\\\boxed{b=12\sqrt5}[/tex]
Podstawiamy do (2):
[tex]a\cdot12\sqrt5=540\qquad|\cdot\sqrt5\\\\60a=540\sqrt5\qquad|:60\\\boxed{a=9\sqrt5}[/tex]
Podstawiamy do (1):
[tex]9\sqrt5=2\cdot12\sqrt5-c\\9\sqrt5=24\sqrt5-c\qquad|-9\sqrt5+c\\\boxed{c=15\sqrt5}[/tex]
