Zał.
[tex]x\neq2021\land y\neq2021[/tex]
Teraz
[tex]x+\frac{1}{y-2021}=y+\frac{1}{x-2021}\\x-y+\frac{1}{y-2021}-\frac{1}{x-2021}=0\\x-y+\frac{x-2021}{(x-2021)(y-2021)}-\frac{y-2021}{(x-2021)(y-2021)}=0\\x-y+\frac{x-2021-y+2021}{(x-2021)(y-2021)}=0\\x-y+\frac{x-y}{(x-2021)(y-2021)}=0\\(x-y)(1+\frac{1}{(x-2021)(y-2021)})=0\\x=y\vee 1+\frac{1}{(x-2021)(y-2021)}=0\\x=y\vee \frac{1}{(x-2021)(y-2021)}=-1\\x=y\vee (x-2021)(y-2021)=-1[/tex]
Zauważmy, że z założenia x i y są całkowite, więc w drugim równaniu w nawiasach mamy liczby całkowite. Ich iloczyn jest równy -1, więc drugie równanie można zapisać jako
[tex]\left \{ {{x-2021=1} \atop {y-2021=-1}} \right. \vee\left \{ {{x-2021=-1} \atop {y-2021=1}} \right.\\\left \{ {{x=2022} \atop {y=2020}} \right. \vee\left \{ {{x=2020} \atop {y=2022}} \right.\\[/tex]
Ostatecznie równanie w zbiorze liczb całkowitych ma następujące rozwiązania:
[tex]$\left\{\begin{array}{l}x=y\\x\neq2021\\y\neq2021\end{array} \right.$\vee\left \{ {{x=2022} \atop {y=2020}} \right. \vee\left \{ {{x=2020} \atop {y=2022}} \right.\\[/tex]
