Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac{8}{25}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz rysunek.
Jako, że kąt α jest kątem ostrym, to możemy oprzeć się na trójkącie prostokątnym.
Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy:
[tex]\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\\\\\cos\alpha=\dfrac{b}{c}[/tex]
oraz mając trójkąt prostokątny mamy twierdzenie Pitagorasa:
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
[tex]\cos\alpha-\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\\\\\dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}=\dfrac{3}{4}\\\\\dfrac{b-a}{c}=\dfrac{3}{5}\qquad|^2\\\\\left(\dfrac{b-a}{c}\right)^2=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\\\\\dfrac{b^2-2ab+a^2}{c^2}=\dfrac{9}{25}\qquad|c^2=a^2+b^2\\\\\dfrac{c^2-2ab}{c^2}=\dfrac{9}{25}\\\\\dfrac{c^2}{c^2}-2\cdot\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{9}{25}\\\\1-2\cdot\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{9}{25}\qquad|-1\\\\-2\cdot\dfrac{ab}{c^2}=-\dfrac{16}{25}\qquad|:(-2)\\\\\boxed{\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{8}{25}}\qquad(*)[/tex]
[tex]\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac{a}{c}\cdot\dfrac{b}{c}=\dfrac{ab}{c^2}\xrightarrow{(*)}=\dfrac{8}{25}[/tex]
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia [tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex] oraz z jedynki trygonometrycznej [tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex].
[tex]\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{3}{5}\text{ }|^2\\(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=(\frac{3}{5})^2\\\cos^2\alpha-2*\sin\alpha*\cos\alpha+\sin^2\alpha=\frac{9}{25}\\1-2sin\alpha \cos\alpha=\frac{9}{25}\\-2sin\alpha \cos\alpha=\frac{9}{25}-1\\-2sin\alpha \cos\alpha=-\frac{16}{25}\text{ }|:(-2)\\sin\alpha \cos\alpha=\frac{8}{25}[/tex]
