Odpowiedź:
[tex]$|\vec u|\approx8,2462$[/tex]
[tex]$|\vec u|\approx6,3472$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Definiujemy nasze wektory:
[tex]$\vec a=\left[\begin{array}{c}x_a&y_a&z_a\end{array}\right]$[/tex]
[tex]$\vec b=\left[\begin{array}{c}x_b&y_b&z_b\end{array}\right]$[/tex]
[tex]$\vec c=\left[\begin{array}{c}x_c&y_c&z_c\end{array}\right]$[/tex]
Warunki pochodzące z długości:
[tex]$|\vec a|=2 \longrightarrow\sqrt{(x_a)^2+(y_a)^2+(z_a)^2}=2$[/tex]
[tex]$|\vec b|=2 \longrightarrow\sqrt{(x_b)^2+(y_b)^2+(z_b)^2}=2$[/tex]
[tex]$|\vec c|=4 \longrightarrow\sqrt{(x_c)^2+(y_c)^2+(z_c)^2}=4$[/tex]
Warunki pochodzące z kąta między wektorami:
[tex]$\mathrm{cos}\bigg(\frac{\pi}{3}\bigg)=\frac{\vec a\circ\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\longrightarrow\frac{1}{2}=\frac{x_a\cdot\overline{x_b}+y_a\cdot\overline{y_b}+z_a\cdot\overline{z_b}}{4}$[/tex]
[tex]$\mathrm{cos}\bigg(\frac{\pi}{6}\bigg)=\frac{\vec b\circ\vec c}{|\vec b|\cdot|\vec c|}\longrightarrow\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{x_b\cdot\overline{x_c}+y_b\cdot\overline{y_c}+z_b\cdot\overline{z_c}}{8}$[/tex]
Warunek z komplanarności:
[tex]$\vec a\cdot\big(\vec b\times\vec c\big)=0\longrightarrow z_a\cdot\big(\overline{x_b}\cdot\overline{y_c}-\overline{x_c}\cdot\overline{y_b}\big)-y_a\cdot\big(\overline{x_b}\cdot\overline{z_c}-\overline{x_c}\cdot\overline{z_b}\big)+x_a\cdot\big(\overline{y_b}\cdot\overline{z_c}-\overline{y_c}\cdot\overline{z_b}\big)=0$[/tex]
Powyższe zależności umieszczamy w dowolnym solverze. Otrzymane wektory wstawiamy do wzoru i obliczamy długość:
[tex]$\vec u=\vec a-\vec b+2\vec c$[/tex]
Udało mi się otrzymać dwa rozwiązania na drodze numerycznej:
[tex]$|\vec u|\approx8,2462$[/tex]
[tex]$|\vec u|\approx6,3472$[/tex]
