Odpowiedź :
Witaj :)
Zadanie 1.
O funkcji kwadratowej wiemy, że jej wzór wygląda następująco:
[tex]y=2x^2+bx+c[/tex]
Możemy z tego odczytać, że współczynnik przy drugiej potędze wynosi 2, więc:
[tex]a=2[/tex]
Wiemy jeszcze, że funkcja ta posiada dwa miejsca zerowe, a mianowicie:
[tex]x_1=-2\\x_2=-8[/tex]
Znając miejsca zerowe funkcji mamy możliwość skorzystania z postaci iloczynowej, która wygląda następująco:
[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Naszym zadaniem jest wyliczenie współczynnika "b", oraz wyrazu wolnego "c". Podstawmy dane z zadania do wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej:
[tex]y=2(x-(-2))(x-(-8))\\y=2(x+2)(x+8)[/tex]
Aby wyznaczyć te współczynniki możemy teraz przekształcić postać iloczynową tej funkcji do postaci ogólnej:
[tex]y=2(x+2)(x+8)\\y=(2x+4)(x+8)\\y=2x^2+16x+4x+32\\y=2x^2+20x+32\implies potac\ ogolna[/tex]
Na podstawie wzoru ogólnego funkcji kwadratowej:
[tex]y=ax^2+bx+c, gdzie \ a,b,c\in \mathbb R\ oraz\ a\neq 0[/tex]
Możemy odczytać wartości współczynników "b" oraz "c", a mianowicie wynoszą one odpowiednio:
[tex]b=20\\c=32[/tex]
ODP.: Współczynniki "b" i "c" trójmianu kwadratowego wynoszą odpowiednio:
[tex]\boxed{b=20}\\\boxed{c=32}[/tex]
Zadanie 2.
Każdy wzór funkcji kwadratowej podanych w zadaniu jest przedstawiony w postaci ogólnej, tzn:
[tex]y=ax^2+bx+c, gdzie \ a,b,c\in \mathbb R\ oraz\ a\neq 0[/tex]
Aby przejść z postaci ogólnej na iloczynową musimy wyznaczyć miejsca zerowe naszych trójmianów kwadratowych. W pierwszej kolejności musimy wyznaczyć wyznaczniki (deltę). W zależności od wyznacznika postać iloczynowa wygląda następująco:
- Wyznacznik trójmianu kwadratowego jest większy od 0
W przypadku, gdy delta jest większa od zera trójmian kwadratowy posiada dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, i wzór wygląda następująco:
[tex]\boxed{y=a(x-x_1)(x-x_2)}[/tex]
- Wyznacznik trójmianu kwadratowego jest równy 0
W przypadku, gdy delta jest równa 0, to trójmian kwadratowy posiada jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, i wzór wygląda następująco:
[tex]\boxed{y=a(x-x_0)^2}[/tex]
- Wyznacznik trójmianu kwadratowego jest mniejszy od 0
W przypadku, gdy delta jest mniejsza od zera, wówczas trójmian kwadratowy nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, co za tym idzie - nie można przedstawić funkcji w postaci iloczynowej.
Podpunkt a
[tex]y=2x^2+7x+3\\\\a=2\\b=7\\c=3\\\\\Delta=b^2-4ac=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25 >0\implies \boxed{dwa\ miejsca\ zerowe}\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7-5}{2\cdot 2}=-\frac{12}{4}=-3\\ x_2= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7+5}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}[/tex]
Postać iloczynowa funkcji wygląda następująco:
[tex]y=2(x-(-3))(x-(-\frac{1}{2}))\\ \\\boxed{y=2\Big(x+3\Big)\Big(x+\frac{1}{2}\Big)}[/tex]
Podpunkt b
[tex]y=16x^2-24x+9\\\\a=16\\b=-24\\c=9\\\\\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4\cdot 16\cdot 9=576-576=0 \implies \boxed{jedno\ miejsce\ zerowe}\\\\x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-24}{2\cdot 16} =\frac{24}{32} =\frac{3}{4}[/tex]
Postać iloczynowa funkcji wygląda następująco:
[tex]\boxed{y=16\Big(x-\frac{3}{4}\Big)^2}[/tex]
Podpunkt c
[tex]y=5x^2+x+1\\\\a=5\\b=1\\c=1\\\\\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 5\cdot 1=1-20=-19<0\ \boxed{brak\ miejsc\ zerowych}[/tex]
Podana funkcja nie posiada postaci iloczynowej.