Witaj :)
[tex]y=(x+5)(x-2)[/tex]
Jest to wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci iloczynowej:
[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], gdzie:
[tex]x_1,\ x_2\ - \ miejsca\ zerowe\ trojmianu[/tex]
Możemy zatem bezpośrednio odczytać miejsca zerowe naszego trójmianu, a są nimi:
[tex]x_1=-5\\x_2=2[/tex]
Aby powyższą funkcje przedstawić w postaci ogólnej musimy wymnożyć nawiasy przez siebie (każdy czynnik z nawiasu 1 mnożymy przez każdy czynnik z nawiasu 2):
[tex]y=(x+5)(x-2)\\y=x^2-2x+5x-10\\y=x^2+3x-10\implies postac\ ogolna[/tex]
ODP.:
[tex]Miejsca\ zerowe:\ \boxed{x_1=-5\ ; \ x_2=2}\\\\Postac\ ogolna:\ \boxed{y=x^2+3x-10}[/tex]
[tex]y=(x-1)(x+12)[/tex]
Podana funkcja jest zapisana również w postaci iloczynowej, tzn. możemy z niej odczytać miejsca zerowe naszego trójmianu. Są nimi:
[tex]x_1=1\\x_2=-12[/tex]
Oś symetrii paraboli zawsze przechodzi przez jej wierzchołek, i jest to współrzędna "p" wierzchołka:
[tex]x=p\implies\ rownanie\ osi\ symetrii\ paraboli[/tex]
Znając miejsca zerowe naszego trójmianu możemy obliczyć współrzędną "p" wierzchołka, która jest jednocześnie osią symetrii. Będzie to średnia arytmetyczna miejsc zerowych naszej funkcji:
[tex]p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+(-12)}{2}=\frac{1-12}{2}=\frac{-11}{2}=-\frac{11}{2}[/tex]
Wobec czego równanie osi symetrii wygląda następująco:
[tex]x=-\frac{11}{2}[/tex]
Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
[tex]W=(x,y)=(p.q)[/tex]
oznaczenia "p" oraz "q" są na potrzeby funkcji kwadratowej. Znamy już współrzędną "p" wierzchołka, więc:
[tex]W=(-\frac{11}{2}\ ; \ q)[/tex]
Aby obliczyć współrzędną "q" skorzystamy z zależności:
[tex]q=f(p)[/tex]
W miejsce "x" wstawimy wartość "p":
[tex]f(-\frac{11}{2})=(-\frac{11}{2}-1)(-\frac{11}{2}+12)\\ \\ f(-\frac{11}{2})=(-\frac{13}{2})(\frac{13}{2})\\ \\ f(-\frac{11}{2})=-\frac{169}{4}\\ \\ q=-\frac{169}{4}[/tex]
Więc nasz wierzchołek ma współrzędne:
[tex]W=(-\frac{11}{2}\ ; \ -\frac{169}{4} )[/tex]
[tex]Rownanie\ osi\ symetrii:\ \boxed{x=-\frac{11}{2} }\\\\Wspolrzedne\ wierzcholka:\ \boxed{W=\Big(-\frac{11}{2}\ ; \ -\frac{169}{4}\Big)}[/tex]
