Warunek konieczny istnienia ekstremum
[tex]\frac{df}{dx}=0\\-3x^2-2x+1=0\\\Delta=4+12=16\\x_1=\frac{2-4}{-6}=\frac{1}{3}\\x_2=-1[/tex]
Mamy dwa punkty podejrzane o istnienie ekstremum. Dla x=-1 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli mamy tu minimum, natomiast dla x=1/3 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - mamy maksimum.
Policzmy jeszcze wartości funkcji w punktach ekstremów oraz na końcach przedziału
[tex]f(-2)=-(-8)-4-2-1=1\\f(-1)=-(-1)-1-1-1=-2\\f(1/3)=-\frac{1}{27}-\frac{1}{9}+\frac{1}{3}-1=-\frac{22}{27}\\f(2)=-8-4+2-1=-11[/tex]
Mamy zatem maksimum i minimum, ale supremum odpowiada x=-2 (wartość funkcji jest większa niż w maksimum) zaś infimum odpowiada x=2 (wartość funkcji mniejsza niż w minimum).
Co do wypukłości, to wystarczy policzyć drugą pochodną:
[tex]\frac{d^2f}{dx^2}=-6x-2[/tex]
zmienia ona znak w rozważanym przedziale, zatem nie ma określonej wypukłości.
Reasumując, prawidłowe są tylko dwie pierwsze odpowiedzi.
pozdrawiam
