Odpowiedź:
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}-2&-3\\-\frac{9}{2} &-\frac{17}{2} \end{array}\right] [/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]3X-\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right]=X\left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&4\end{array}\right][/tex]
Przekształcamy do macierzy [tex]X[/tex] :
[tex]\left[\begin{array}{ccc}3&0\\0&3\end{array}\right]X-\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right]=X\left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&4\end{array}\right][/tex]
Tak naprawdę liczbę możemy zapisać z prawej strony macierzy [tex]X[/tex] :
[tex]X\left[\begin{array}{ccc}3&0\\0&3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right]=X\left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&4\end{array}\right][/tex]
Teraz mamy:
[tex]X\left[\begin{array}{ccc}3&0\\0&3\end{array}\right]-X\left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right][/tex]
[tex]X\Big(\left[\begin{array}{ccc}3&0\\0&3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&4\end{array}\right]\Big)=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right][/tex]
[tex]X\left[\begin{array}{ccc}5&1\\-3&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right][/tex]
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}5&1\\-3&-1\end{array}\right]^{-1}[/tex]
Skorzystamy ze wzoru na macierz odwrotną do danej macierzy [tex]2 \times 2[/tex]:
[tex]$A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] \wedge ad-bc \neq 0 \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right] [/tex]
Mamy:
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}5&1\\-3&-1\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{-5+3} \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\3&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\-\frac{3}{2} &-\frac{5}{2} \end{array}\right][/tex]
Stąd:
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\3&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\-\frac{3}{2} &-\frac{5}{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2&-3\\-\frac{9}{2} &-\frac{17}{2} \end{array}\right] [/tex]
