Rozwiązanie:
[tex]$\int {\frac{2x+3}{x^{2}-4x} } \, dx =\int {\frac{2x+3}{x(x-4)} } \, dx [/tex]
Zastosujemy metodę ułamków prostych:
[tex]$\frac{2x+3}{x(x-4)} =\frac{A}{x} +\frac{B}{x-4} [/tex]
Mnożymy przez mianownik i dostajemy:
[tex]2x+3=Ax-4A+Bx[/tex]
[tex]2x+3=x(A+B)-4A[/tex]
Stąd natychmiast mamy:
[tex]$-4A=3 \iff A=-\frac{3}{4} [/tex]
[tex]$A+B=2 \iff -\frac{3}{4} +B=2 \iff B=\frac{11}{4} [/tex]
Zatem całkę możemy zapisać jako:
[tex]$\int {\frac{2x+3}{x(x-4)} } \, dx =\int {\frac{-\frac{3}{4} }{x} +\frac{\frac{11}{4} }{x-4} } \, dx =-\frac{3}{4} \int {\frac{1}{x} } \, dx +\frac{11}{4} \int \frac{1}{x-4} \, dx =[/tex]
[tex]$=-\frac{3}{4} \ln |x|+\frac{11}{4} \ln |x-4|+C[/tex]
