Odpowiedź :
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Symetralna - prosta prostopadła do danego odcinka dzieląca go na pół.
k: y = -x +3
równanie prostej "l" przechodzącej przez pkt A(-1, -2):
l: y = ax + b
l: -2 = -a + b czyli
a - b = 2
Dodatkowo wiadomo, że symetralna "k" jest prostopadła do prostej "l" - czyli wsp kierunkowy "a" prostej "l" jest równy:
a = 1 czyli:
1 - b = 2
b = -1
l: y = x - 1
Punkt przecięcia prostych "k" i "l"
-x + 3 = x - 1
2x = 4
x = 2, y = -2 + 3 = 1
wsp pkt przecięcia P (2,1)
Wsp punktu B:
(-1+xB)/2 = 2
-1 + xB = 4
xB = 5
(-2+yB)/2 = 1
-2+yB = 2
yB = 4
B (5,4)
Odpowiedź:
[tex]y=x-1\\ B(5;4)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wiemy, że prosta AB jest prostopadła do prostej
[tex]y=-x+3[/tex]
Żeby znaleźć współczynnik kierunkowy tej prostej prostopadłej skorzystajmy z takiego fajnego wzorku:
[tex]a_{1}[/tex]·[tex]a_{2}[/tex][tex]=-1[/tex]
Podstawiamy!
[tex]a_{1} [/tex]·[tex]-1=-1 \ \ /:-1[/tex]
[tex]a_{1} =1[/tex]
Mamy współczynnik kierunkowy prostej!
Teraz wystarczy tylko wzór tej prostej zapisać w takiej postaci:
[tex]y=ax+b[/tex]
Podstawmy najpierw współczynnik kierunkowy, aby wszystko było oczywiste!
[tex]y=x+b[/tex]
Teraz wykorzystajmy punkt A o współrzędnych:
[tex]A(-1;-2)[/tex]
Wiemy, że współrzędne punktu A bez danych wyglądają tak:
[tex]A(x;y)[/tex]
Zatem:
[tex]x=-1\\ y=-2[/tex]
Podstawiamy współrzędne punktu do naszej prostej, żeby znaleźć b
[tex]-2=-1+b\\ -2+1=b\\ -1=b[/tex]
Mamy już wszystko czego nam potrzeba!
[tex]y=ax+b\\ a=1\\ b=-1\\ y=x-1[/tex]
Środkiem naszego odcinka będzie punkt przecięcia się tych prostych.
Układ równań!
[tex]\left \{ {{y=-x+3} \atop{y=x-1}} \right. \\ [/tex]
Dodajemy do siebie i odejmujemy!
[tex]2y=2\ \ \ /:2\\ y=1\\ [/tex]
Otrzymaliśmy współrzędną punktu S (środka naszego odcinka)
Teraz znajdźmy współrzędną x podkładając y pod dowolne równanie!
[tex]1=x-1\\ 2=x[/tex]
Zatem punkt S ma współrzędne:
[tex]S(2;1)[/tex]
Skorzystajmy teraz ze wzoru na środek odcinka!
Najpierw znajdziemy współrzędną x punktu B
Wzór wygląda następująco:
[tex]S_{x}=\frac{x_{A}+x_{B} }{2} \\ [/tex]
Podstawiamy więc nasze dane.
[tex]2=\frac{-1+x_{B} }{2} \ \ \ /*2\\ 4=-1+x_{B} \\ 5=x_{B} \\ [/tex]
Mamy współrzędna x punktu B!
Teraz znajdźmy współrzędną y!
[tex]S_{y}=\frac{y_{A}+y_{B} }{2}\\\\ 1=\frac{-2+y_{B} }{2} \ \ \ \ /*2\\ 2=-2+y_{B} \\ 4=y_{B} [/tex]
Zatem punkt B ma współrzędne:
[tex]B(5;4)[/tex]