Odpowiedź :
Cześć!
[tex]\frac{x}{x^2-5x+6}<\frac{1}{x-2}[/tex]
Wiemy, że [tex]x^2-5x+6[/tex] możemy zapisać (stosując wzory Vieta lub postać iloczynową trójmianu) jako [tex](x-2)(x-3)[/tex]. Otrzymujemy:
[tex]\frac{x}{(x-2)(x-3)}<\frac{1}{x-2}[/tex]
Zacznijmy od dziedziny:
[tex]x-2\not = 0 \Longrightarrow x\not= 2 \ \wedge \ x-3\not = 0\Longrightarrow x\not= 3 \\ \\ x\in \mathbb{R}\setminus\{2,3\}[/tex]
Przekształcamy do takiej postaci, by po jednej ze stron nierówności znalazło się zero:
[tex]\frac{x}{(x-2)(x-3)}<\frac{1}{x-2}\\ \\ \frac{x}{(x-2)(x-3)}-\frac{1}{x-2}<0\\ \\ \frac{x}{(x-2)(x-3)} - \frac{x-3}{(x-2)(x-3)} < 0\\ \\ \frac{x-x+3}{(x-2)(x-3)} < 0\\ \\ \frac{3}{(x-2)(x-3)}<0[/tex]
Mnożymy przed kwadrat mianownika i otrzymujemy:
[tex]3(x-2)(x-3)<0[/tex]
Rozwiązujemy nierówność kwadratową. Miejsca zerowe to [tex]\{2;3\}[/tex], ramiona paraboli skierowane do góry. Kółeczka niezamalowane. Szukamy wartości mniejszych od 0. Zbiór rozwiązań to przedział [tex]x \in (2;3)[/tex].
Porównując z dziedziną wynik nie ulega zmianie, zatem ostateczne rozwiązanie to [tex]x \in (2;3)[/tex].
Pozdrawiam!
Odpowiedź:
x∈ (2,3)
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\frac{x}{x^2-5x+6}<\frac{1}{x-2} [/tex]
1) Założenia
[tex]x-2\neq 0\ \ \ \ \ \ x\neq 2[/tex]
[tex]x^{2}-5x+6\neq 0\\ [/tex]
Δ=b^2-4ac
Δ[tex]=25-24=1\ [/tex][tex]\ /:\sqrt [/tex]Δ
[tex]\sqrt [/tex]Δ=1
[tex]x_{1}\neq \frac{5-1}{2} \neq \frac{4}{2}\neq 2\\\\ x_{2}\neq \frac{5+1}{2}\neq \frac{6}{2}\neq 3\\\\ \\ [/tex]
D=R\{2,3}
[tex]\frac{x}{x^2-5x+6}<\frac{1}{x-2} [/tex]
Przenosimy na jedną stronę!
[tex]\frac{x}{(x-2)(x-3)}-\frac{1}{(x-2)}<0\\ [/tex]
Wspólny mianownik!
[tex]\frac{x}{(x-2)(x-3)}-\frac{(x-3)}{(x-3)(x-2)}<0\\\\ \frac{x-x+3}{(x-2)(x-3)}<0\\ \frac{3}{(x-2)(x-3)}<0\\ [/tex]
Licznik będzie zawsze dodatni. Sprawdźmy kiedy mianownik będzie <0
[tex](x-2)(x-3)<0\\ [/tex]
[tex]x-2<0\\ x<2[/tex]
[tex]x-3<0\\ x<3[/tex]
x∈ (2,3)