Rozwiązane

Udowodnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x prawdziwa jest nierówność
4(x³+x+1)≤ (x²+1)(x²+5)

Odpowiedź :

Hankaviz

[tex]4(x^3+x+1) \le  (x^2+1)(x^2+5)[/tex]

[tex]4x^3+4x+4 \le x^4+5x^2+x^2+5[/tex]

[tex]4x^3+4x+4-x^4-5x^2-x^2-5 \le 0[/tex]

[tex]- x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x - 1 \le 0[/tex]

[tex]-x^4+x^3+3x^3-3x^2+3x+x-1 \le 0[/tex]

[tex]-x^3(x-1)+3x^2(x-1)-3x(x-1)+x-1 \le 0[/tex]

[tex](x-1)(-x^3+3x^2-3x+1) \le 0[/tex]

[tex]-(x-1)(x^3-3x^2+3x-1) \le 0[/tex]

[tex]-(x-1)(x-1^3\le 0[/tex]

[tex]-(x-1)^4 \le 0\ \ \ |:(-1)[/tex]

[tex](x-1)^4  \ge 0[/tex]

Czwarta potęga dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.

Tabiaszczviz

[tex]4(x^3+x+1)\leq (x^2+1)(x^2+5)\\ \\ 4x^3+4x+4\leq x^4+6x^2+5\\ \\ 4x^3+4x+4-x^4-6x^2-5\leq 0\\ \\ -x^4+4x^3-6x^2+4x-1\leq 0\\ \\ [/tex]

Dzielę wielomian przez x-1, bo x=1 zeruje powyższy wielomian:

[tex](-x^3+3x^2-3x+1)(x-1)\leq 0[/tex]

Podobnie jak wcześniej, pierwszy czynnik - wyrażony wielomianem trzeciego stopnia również zeruje się dla x=1, wobec czego ponawiam procedurę dzielenia:

[tex](-x^2+2x-1)(x-1)^2\leq 0\\ \\ -(x^2-2x+1)(x-1)^2\leq 0 |\cdot(-1)\\ \\ (x-1)^2\cdot(x-1)^2\geq 0\\ \\ (x-1)^4\geq 0\\ \\ x\in R[/tex]

Zatem zależność ta jest prawdziwa.

Viz Inne Pytanie