Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1.[/tex]
Macierz:
[tex]$A=\left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\-2&3&0\\2&1&1\end{array}\right] [/tex]
Wyznacznik:
[tex]$\det(A)=\left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\-2&3&0\\2&1&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}3&1\\-2&3\\2&1\end{array}\right=(9+0-2)-(6+0-2)=3[/tex]
Minory:
[tex]M_{11}=(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{ccc}3&0\\1&1\end{array}\right|=3[/tex]
[tex]M_{12}=(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{ccc}-2&0\\2&1\end{array}\right|=2[/tex]
[tex]$M_{13}=(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{ccc}-2&3\\2&1\end{array}\right|=-8[/tex]
[tex]$M_{21}=(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right|=0[/tex]
[tex]$M_{22}=(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{ccc}3&1\\2&1\end{array}\right|=1[/tex]
[tex]$M_{23}=(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{ccc}3&1\\2&1\end{array}\right|=-1[/tex]
[tex]$M_{31}=(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{ccc}1&1\\3&0\end{array}\right|=-3[/tex]
[tex]$M_{32}=(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{ccc}3&1\\-2&0\end{array}\right|=-2[/tex]
[tex]$M_{33}=(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{ccc}3&1\\-2&3\end{array}\right|=11[/tex]
Macierz dopełnień algebraicznych:
[tex]$A^{D}=\left[\begin{array}{ccc}3&2&-8\\0&1&-1\\-3&-2&11\end{array}\right] [/tex]
Transponowana macierz dopełnień:
[tex](A^{D})^{T}=\left[\begin{array}{ccc}3&0&-3\\2&1&-2\\-8&-1&11\end{array}\right] [/tex]
Macierz odwrotna:
[tex]$A^{-1}=(A^{D})^{T} \cdot \frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}3&0&-3\\2&1&-2\\-8&-1&11\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\\frac{2}{3} &\frac{1}{3} &-\frac{2}{3} \\-\frac{8}{3} &-\frac{1}{3} &\frac{11}{3} \end{array}\right] [/tex]
Zadanie [tex]2.[/tex]
Układ:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}3x+y+z=8\\-2x+3y=4\\2x+y+z=7\end{array}\right[/tex]
Macierz współczynników to oczywiście macierz [tex]A[/tex]. Macierz kolumnowa:
[tex]B=\left[\begin{array}{ccc}8\\4\\7\end{array}\right] [/tex]
oraz macierz zmiennych:
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] [/tex]
Zatem tak naprawdę układ można zapisać w postaci:
[tex]AX=B[/tex]
Aby teraz uzyskać macierz [tex]X[/tex] wystarczy pomnożyć lewostronnie przez macierz odwrotną do macierzy [tex]A[/tex], czyli przez [tex]A^{-1}[/tex].
Mamy wówczas [tex]X=A^{-1}B[/tex] :
[tex]X=\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}3&0&-3\\2&1&-2\\-8&-1&11\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}8\\4\\7\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{array}\right] [/tex]
Stąd już oczywistym jest, że:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=1\\y=2\\z=3\end{array}\right[/tex]
