Odpowiedź:
a) Objętość tego graniastosłupa V jest równa iloczynowi pola
podstawy Pp = P = 10 i wysokości H = 4, to
V = Pp•H= 10•4 = 40 (jednostek długości)³.
b) Objętość tgo graniastosłupa: V = P•h = 12•5 (jednostek długości)³.
Szczegółowe wyjaśnienie:
a)
Oznaczone boki podstawy 5 i 4 oraz zaznaczony kąt prosty jednoznacznie identyfikują graniastosłup, że podstawą graniastosłupa
jest trójkąt prostokątny.
Najważniejsze jest to, że kąt między bokami 5 i 4 jest kątem prostym, więc dla obliczenia pola podstawy możemy przyjąć dowolny jeden z tych boków 5 i 4, jako wysokość trójkąta.
Jak powszechnie jest wiadome, pole trójkąta P obliczamy z połowy iloczynu podstawy i wysokości trójkąta:
P = 5•4/2 = 20/2 = 10 (jednostek długości)² .
Jak widzimy ten trójkąt, to gdybyśmy obliczyli pole jako iloczyn
5•4 = 20, to obliczylibyśmy pole prostokąta o bokach 4 i 5, a trójkąt jest dokładnie połową tego prostokąta, ponieważ przekątna prostokąta dzieli prostokąt na połowę - dlatego jest taki a nie inny wzór na pole trójkąta.
Ponieważ graniastosłup jest prosty, więc wysokość graniastosłupa H jest jedną z krawędzi bocznych oznaczoną na rysunku jako H = 4
Objętość tego graniastosłupa V jest równa iloczynowi pola podstawy Pp = P = 10 i wysokości H = 4, to
V = Pp•H= 10•4 = 40 (jednostek długości)³.
b)
Na rysunku widzimy, że podstawą tego graniastosłupa jest trójkąt równoramienny o bokach o bokach 5, 5 i 6.
Pole takiego trójkąta można obliczyć np., ze wzoru Herona, ale my to prościej obliczymy [chociaż nie jest wykluczone, że dla sprawdzenia, jak się oblicza pole trójkąta ze wzoru Herona, możemy obliczyć i sprawdzić, czy otrzymane wyniki się zgadzają].
Poprowadzimy wysokość h tego trójkąta równoramiennego, z wierzchołka wyznaczonego przez boki 5 i 5, - na podstawę 6.
W trójkącie równoramiennym wysokość h dzieli podstawę 6 na połowę, a więc na boki 3 i 3 i oczywiście wysokość h jest prostopadła do boku a = 6.
Teraz dla trójkąta prostokątnego o bokach h, 3 i 5, z tw. Pitagorasa obliczymy wysokość h, więc mamy:
h² + 3² = 5² to h² = 5² - 3² = 25 - 9 to h² = 16 /√
[teraz pierwiastkujemy obie strony ostatniego równania pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) /√, gdzie √16 = 4 bo 4² = 16,
a √h² = h]. to h = 4.
Mamy już wszystko, by obliczyć pole P trójkąta (podstawy graniastosłupa) - tak jak w przykładzie a), z połowy iloczynu podstawy i wysokości. Więc mamy:
Pole trójkąta (podstawy graniastosłupa):
P = a•h/2 = 6•4/2 = 12 (jednostek długości)²
Graniastosłup jest prosty, więc objętość:
V = P•h = 12•5 (jednostek długości)³.
