Zadanie 1.
Przekształcamy podane wyrażenie do prostszej postaci:
[tex]\sin^4{\alpha}-\cos^4{\alpha}=(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha})=-(\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha})*1=-\cos(2\alpha)[/tex]Wystarczy znaleźć wartość [tex]\cos{(2\alpha)}[/tex]. Wykorzystamy w tym celu podaną wartość [tex]\sin{(2\alpha)}[/tex] i jedynkę trygonometryczną.
[tex]\sin^2{(2\alpha)}+\cos^2{(2\alpha)}=1\\
(\frac{24}{25})^2+\cos^2{(2\alpha)}=1\\
\frac{576}{625}+\cos^2{(2\alpha)}=1\\
\cos^2{(2\alpha)}=\frac{49}{625}\\
\cos{(2\alpha)}=\frac{7}{25}\vee\cos{(2\alpha)}=-\frac{7}{25}\\[/tex]
Teraz trzeba określić znak cosinusa.
[tex]\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\\
2\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)[/tex]
czyli kąt [tex]2\alpha[/tex] jest w II ćwiartce układu współrzędnych, gdzie cosinus jest ujemny, więc
[tex]\cos{2\alpha}=-\frac{7}{25}[/tex]
Ostatecznie
[tex]\sin^4{\alpha}-\cos^4{\alpha}=-\cos(2\alpha)=\frac{7}{25}[/tex]
Zadanie 2.
Przekształcamy podane wyrażenie do prostszej postaci:
[tex]\sin^4{(\frac{\alpha}{2})}+\cos^4{(\frac{\alpha}{2})}=(\sin^2{(\frac{\alpha}{2})}+\cos^2{(\frac{\alpha}{2})})^2-2\sin^2{(\frac{\alpha}{2})}\cos^2{(\frac{\alpha}{2})}=1-\frac{4\sin^2{(\frac{\alpha}{2})}\cos^2{(\frac{\alpha}{2})}}{2}=1-\frac{(2\sin{(\frac{\alpha}{2})}\cos{(\frac{\alpha}{2}))^2}}{2}=1-\frac{\sin^2\alpha}{2}[/tex]Wartość [tex]\sin^2\alpha}[/tex] znajdziemy z drugiej równości.
[tex]5\sin^2\alpha-1=5\cos^2\alpha\\
5\sin^2\alpha-1=5(1-sin^2\alpha)\\
5\sin^2\alpha-1=5-5sin^2\alpha\\
10\sin^2\alpha=6\\
\sin^2\alpha=\frac{3}{5}\\[/tex]
Ostatecznie
[tex]\sin^4{(\frac{\alpha}{2})}+\cos^4{(\frac{\alpha}{2})}=1-\frac{\sin^2\alpha}{2}=1-\frac{\frac{3}{5}}{2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}[/tex]
