Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\int\dfrac{\ln(\ln(x))}{x}dx[/tex]
Wykonujemy podstawienie:
[tex]\left|\begin{array}{ccc}\ln x=t\\\dfrac{1}{x}dx=dt\end{array}\right|[/tex]
[tex]=\int\ln t\ dt=\int1\cdot\ln t\ dt[/tex]
Wykonujemy całkowanie przez części:
[tex]\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx[/tex]
Czyli mamy
[tex]\left|\begin{array}{ccc}f(t)=\ln t&g'(t)=1\\f'(t)=\dfrac{1}{t}&g(t)=t\end{array}\right|[/tex]
[tex]=t\ln t-\int\dfrac{1}{t\!\!\!\!\diagup}\cdot t\!\!\!\!\diagup\ dt=t\ln t-\int dt=t\ln t-t+C_t[/tex]
Wracamy do podstawienia:
[tex]=\ln x\ln(\ln x)-\ln x+C=\ln x(\ln(\ln x)-1)+C[/tex]
