Odpowiedź:
I. Objętość V tego ostrosłupa (prawidłowy) obliczamy z jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości:
V = (1/3)a²•H = (1/3)•12²•10 = (1/3)•12•12•10 = (12/3)•12•10 =
= 4•12•10 = 480 (jednostek długości)³
II.
Pole powierzchni całkowitej = 36a²√3/2 + 6•32√3 = 8064√3
Szczegółowe wyjaśnienie:
I.
Ostrosłup jest prawidłowy, więc podstawą ostrosłupa jest kwadrat, oznaczymy bok kwadratu a.
Poprowadzimy odcinek ze środka kwadratu, który wyznacza spodek wysokości ostrosłupa 8 - do punktu jaki wyznacza wysokość ściany bocznej ostrosłupa 10 z krawędzią podstawy ostrosłupa, czyli z bokiem kwadratu a.
Odcinek ten jest równy połowie boku kwadratu a/2.
Ten odcinek a/2, wysokość ostrosłupa 8, oraz wysokość ściany bocznej 10 jako przeciwprostokątna, wyznaczają trójkąt prostokątny, z którego obliczymy długość połowy boku kwadratu a/2.
Więc mamy: (a/2)² + 8² = 10² to a²/4 = 10² - 8² = 100 - 64 = 36 /√
[teraz pierwiastkujemy obie (pogrubione) strony równania Pierwiastkiem drugiego stopnia (pierwiastkiem kwadratowym), /√ gdzie:
√36 = 6, bo 6² = 36, √a² = a bo skracają się wykładnik potęgi
² ze stopniem pierwiastka 2, √4 = 2 bp 2² = 4 to √(a²/4) = a/2 ]
to mamy a/2 = 6 /•2 [teraz mnożymy obie strony równania
przez /•2] to a = 6•2 = 12 to objętość V tego ostrosłupa (prawidłowy) obliczamy z jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i
wysokości: V = (1/3)a²•H = (1/3)•12²•10 = (1/3)•12•12•10 = (12/3)•12•10
= 4•12•10 = 480 (jednostek długości)³
II.
Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt foremny (równoboczny).
Sześciokąt równoboczny "pięknie" się wykreśla:
Najpierw rysujemy cyrklem okrąg o promieniu r a następnie tym samym cyrklem, tym samym promieniem r odcinamy na okręgu sześć odcinków, sześć promieni r - i zawsze nam wyjdzie sześciokąt równoboczny - z tej konstrukcji wynika, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a = 8
Jeżeli w trójkącie równobocznym poprowadzimy wysokość trójkąta, to wysokość dzieli nam bok podstawy na połowę, z tego trójkąta prostokątnego o bokach a i a/2, z tw. Pitagorasa
obliczymy znany wzór na wysokość trójkąta równobocznego
h = a √3/2. Dalej h podstawimy do ogólnego wzoru na pole trójkąta
P = a•h/2, to to otrzymamy wzór na pole trójkąta równobocznego
o boku a: P = a²√3/4
A więc pole podstawy (sześciokąta równobocznego) wynosi:
6P = 6a²√3/4 = 36a²√3/2
Krawędź boczną k obliczymy z tw. Pitagorasa:
k² = 8² + 12² = 64 + 144 = 16(4 + 9) to k = 4√13
Wysokość ściany bocznej h' wyznaczymy z tw. Pitagorasa:
h'² + 4² = k² tp h'² = k²- 4² = 16•13 -16 = 16(13 - 1) = 16•12 to
h'² = 16•4•3 64•3 to h' = 8√3
Pole ściany bocznej P' = ah'/2 = 8•8√3/2 = 32√3,
powierzchnia boczna = 6•32√3
to Pole powierzchni całkowitej = 36a²√3/2 + 6•32√3 =
= 36•64√3/2 + 6•32√3 = 36•32√3 + 6•32√3 = 6•6•32√3 + 6•32√3 =
6•6•32√3(6 + 1) = 7•6•6•32√3 = 8064√3
