Witaj :)
Zadanie 1
Dane:
[tex]\cos\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{4} \\\alpha\in (90^\circ;180^\circ)[/tex]
Mamy do czynienia z drugą ćwiartką. Tylko sinus ma znak dodatni.
- Obliczam sinα korzystając z jedynki trygonometrycznej
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\sin^2\alpha+(-\frac{\sqrt{15}}{4})^2=1\\\\\sin^2\alpha+\frac{15}{16}=1\\\\\sin^2\alpha=1-\frac{15}{16}\\\\sin^2\alpha=\frac{1}{16}\implies \sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{16} }=\frac{1}{4}\ \ \vee \ \ \sin\alpha=-\sqrt{\frac{1}{16} }=-\frac{1}{4}\\\\Poniewaz\ \ \alpha\in(90^\circ;180^\circ)\implies \sin\alpha>0\\\\\boxed{\sin\alpha=\frac{1}{4} }[/tex]
[tex]tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\\tg\alpha=\frac{\frac{1}{4} }{-\frac{\sqrt{15}}{4} }=-\frac{1}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}\\\\\boxed{tg\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{15} }[/tex]
[tex]ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}\\\\ctg\alpha=\frac{1}{-\frac{\sqrt{15}}{15} } =-\frac{15}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} =-\frac{15\sqrt{15}}{15} =-\sqrt{15}\\\\\boxed{ctg\alpha=-\sqrt{15}}[/tex]
ODP.:
[tex]\sin\alpha= -\frac{\sqrt{15}}{4}\\\\\cos\alpha=\frac{1}{4}\\\\tg\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{15}\\\\ctg\alpha=-\sqrt{15}[/tex]
Zadanie 2
Musimy obliczyć wartość wyrażenia:
[tex]\Large \boxed{\frac{tg135^\circ+\sin120^\circ}{\cos0^\circ-tg0^\circ} }[/tex]
Aby obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych powyżej 90° użyjemy w tym celu wzorów redukcyjnych:
[tex]tg(90^\circ+\alpha)=-ctg\alpha\\tg135^\circ=tg(90^\circ+45^\circ)=-ctg45^\circ=-1\\\\\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha\\\sin120^\circ=\sin(90^\circ+30^\circ)=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Wartości dla 0° odczytujemy z tabeli:
[tex]\cos0^\circ=1\\tg0^\circ=0[/tex]
Podstawmy nasze wyniki pod wyrażenie na początku:
[tex]\Large \boxed{\frac{tg135^\circ+\sin120^\circ}{\cos0^\circ-tg0^\circ}=\frac{-1+\frac{\sqrt{3}}{2} }{1-0}=\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{2} }{1} =-1+\frac{\sqrt{3}}{2} }[/tex]
