Cześć!
[tex]\lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{10^{n+1}}-\sqrt[n]{\frac{1}{10^{1000}}}) = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{10^{n+1}})-\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{\frac{1}{10^{1000}}}) = \\\\= \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{10^n \cdot 10}) - \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{\frac{1}{10^{1000}}}) = \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{10^n}\cdot \sqrt[n]{10}) - \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{\frac{1}{10^{1000}}})=[/tex][tex]= \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{10^n})\cdot \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{10}) - \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{\frac{1}{10^{1000}}})[/tex]
Granice możemy rozdzielić zgodnie z twierdzeniem o arytmetyce działań na granicach. Granicę [tex]\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{10^n})[/tex] upraszczamy do [tex]10[/tex], wiedząc, że [tex]\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{a^n}) = a[/tex]. Granicę [tex]\lim_{n \to \infty}({\sqrt[n]{10}})[/tex] upraszczamy do [tex]1[/tex], zgodnie z własnością [tex]\lim_{n \to \infty}({\sqrt[n]{a}})=1[/tex], dla [tex]a>0[/tex]. Ostatnią granice również upraszczamy na podstawie tego samego twierdzenia. W efekcie otrzymujemy:
[tex]=10\cdot 1 - 1 = 10-1=9[/tex]
Pozdrawiam!
