Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P=32\sqrt3\ cm^2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a=8cm[/tex] - przyprostokątna
[tex]c=2a\to c=2\cdot8cm=16cm[/tex] - przeciwprostokątna
[tex]b[/tex] - druga przyprostokątna
Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:
[tex]a^2+b^2=c^2\\\\8^2+b^2=16^2\\\\64+b^2=256\qquad|-64\\\\b^2=192\to b=\sqrt{192}\\\\b=\sqrt{64\cdot3}\\\\b=\sqrt{64}\cdot\sqrt3\\\\b=8\sqrt3(cm)[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\dfrac{a\cdot b}{2}\\\\P=\dfrac{8\cdot8\sqrt3}{2}=4\cdot8\sqrt3=32\sqrt3(cm^2)[/tex]
Możemy jeszcze zrobić to zadanie innym sposobem.
Jako, że jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, to kąt miedzy nimi musi być miary 60°. Wówczas mamy do czynienia z trójkątem o kątach 30°, 60° i 90°, w którym zachodzą zależności miarowe jak w załączniku.
Stąd, jeżeli [tex]a=8cm[/tex] to [tex]a\sqrt3=8\sqrt3cm[/tex]
Możemy obliczać pole:
[tex]P=\dfrac{8\cdot8\sqrt3}{2}=32\sqrt3(cm^2)[/tex]
Możemy jeszcze inaczej do tego podejść. Jako, że wiemy, że jest to trójkat, taki jak w załączniku, który stanowi połowę trójkąta równobocznego. Możemy obliczyć połowę pola trójkąta równobocznego stosując wzór:
[tex]P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Bok [tex]a=2\cdot8cm=16cm[/tex].
Podstawiamy:
[tex]P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{16^2\sqrt3}{4}=\dfrac{256\sqrt3}{8}=32\sqrt3(cm^2)[/tex]
