Witaj :)
Ciąg arytmetyczny jest tak taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość "r" zwaną różnicą ciągu arytmetycznego. Wzór ogólny takie ciągu wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{a_n=a_1(n-1)r}[/tex]
W zadaniu dane mamy dwa wyrazy - wyraz czwarty, oraz wyraz szesnasty:
[tex]a_4=3\\a_{16}=-3[/tex]
Znając te dwa wyrazy możemy zapisać zależność między nimi:
[tex]\Large \boxed{a_{16}=a_4+12r}[/tex]
Możemy teraz obliczyć wartość różnicy tego ciągu:
[tex]-3=3+12r\\\\12r=-6\ / :12\\\\\boxed{r=-\frac{1}{2}}[/tex]
Znając różnicę, oraz korzystając z dowolnego z dwóch wyrazów, które znamy możemy obliczyć wartość wyrazu pierwszego, Ja skorzystam z wyrazu czwartego:
[tex]a_4=a_1+3r\\\\3=a_1+3\cdot (-\frac{1}{2})\\\\a_1-\frac{3}{2}=3\\\\a_1=3+\frac{3}{2}\\\\\boxed{a_1=\frac{9}{2}}[/tex]
Obliczyliśmy już wyraz pierwszy. Kolejnym zadaniem jest obliczenie sumy trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu skorzystamy ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów tego ciągu:
[tex]\Large \boxed{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}[/tex]
W naszym przypadku mamy do obliczenia sumę trzydziestu wyrazów, więc:
[tex]\Large \boxed{S_{30}=\frac{a_1+a_{30}}{2}\cdot 30 =(a_1+a_{30}) \cdot 15}[/tex]
Pozwoliłem sobie skrócić od razu 2 z 30, dlatego mamy pomnożone przez 15.
Potrzebujemy do tego wzoru znać wartość wyrazu trzydziestego. Obliczmy go korzystając z wyrazu szesnastego:
[tex]a_{30}=a_{16}+14r\\\\a_{30}=-3+14\cdot (-\frac{1}{2})\\\\a_{30}=-3-7\\\\\boxed{{a_{30}=-10} }[/tex]
Znając już wszystko obliczmy sumę trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu:
[tex]S_{30}=(\frac{9}{2}+(-10))\cdot 15\\\\S_{30}=(-\frac{11}{2})\cdot 15\\\\S_{30}=-\frac{165}{2}\\\\\boxed{S_{30}=-82,5 }[/tex]
ODP.:
- Wyraz pierwszy wynosi [tex]a_1=\frac{9}{2}[/tex]
- Suma trzydziestu początkowych wyrazów wynosi [tex]S_{30}=-82,5[/tex]
