Odpowiedź:
[tex]$x=\frac{\pi}{4} +k\pi[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\sin^{3}x+\sin x \cos^{2} x-2 \cos^{3}x=0[/tex]
[tex]\sin^{3}x-\cos^{3}x +\sin x \cos^{2}x-\cos^{3}x=0[/tex]
[tex](\sin x-\cos x)(\sin^{2}x +\sin x \cos x+\cos^{2}x)+\cos^{2}x(\sin x-\cos x)=0[/tex]
[tex](\sin x- \cos x)(1+ \sin x \cos x)+ \cos^{2}x(\sin x - \cos x)=0[/tex]
[tex](\sin x- \cos x)(1+\sin x \cos x+\cos^{2}x)=0[/tex]
[tex]$(\sin x- \cos x)\Big(1+\frac{1}{2}\sin(2x)+\cos^{2}x\Big)=0[/tex]
Zauważmy, że drugi nawias nie może się nigdy wyzerować (wystarczy spojrzeć na zbiory wartości funkcji, które są czynnikami sumy). Zatem mamy do rozwiązania tylko przypadek:
[tex]\sin x- \cos x =0[/tex]
[tex]$\sin x- \sin \Big(\frac{\pi}{2}-x \Big)=0[/tex]
[tex]$2\sin \frac{x-\frac{\pi}{2}+x }{2} \cos \frac{x+\frac{\pi}{2}-x }{2}=0[/tex]
[tex]$ 2\sin \Big(x-\frac{\pi}{4} \Big) \cos \frac{\pi}{4} =0[/tex]
[tex]$\sin \Big(x-\frac{\pi}{4} \Big)=0[/tex]
[tex]$x-\frac{\pi}{4} =k\pi[/tex]
[tex]$x=\frac{\pi}{4} +k\pi[/tex]
