Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1[/tex].
Metoda całkowania: Całkowanie przez podstawienie.
[tex]f(x)=2x(x^{2}+1)^{4}[/tex]
[tex]$\int {f(x)} \, dx =\int {2x(x^{2}+1)^{4}} \, dx=\left|\begin{array}{ccc}u=x^{2}+1\\du= 2x \ dx\end{array}\right|=\int {u^{4}} \, du=\frac{1}{5}u^{5}+C=[/tex]
[tex]$=\frac{1}{5}(x^{2}+1)^{5} +C[/tex]
Zadanie [tex]2.[/tex]
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej:
Całka oznaczona określa pole figury płaskiej ograniczonej wykresem funkcji, osią odciętych oraz prostymi [tex]x=a[/tex] oraz [tex]x=b[/tex] (gdzie [tex]a,b[/tex] to granice całki oznaczonej).
Pole figury:
[tex]y=x+2[/tex]
[tex]y=x^{2}[/tex]
Najpierw wyznaczamy granice całkowania:
[tex]x+2=x^{2}[/tex]
[tex]x^{2}-x-2=0[/tex]
[tex](x+1)(x-2)=0[/tex]
[tex]x=-1 \vee x=2[/tex]
Na tym przedziale krzywa [tex]y=x+2[/tex] znajduje się "wyżej" niż krzywa [tex]y=x^{2}[/tex]. Zatem pole figury jest równe:
[tex]$P=\int\limits^{2}_{-1} {x+2-x^{2}} \, dx =\int\limits^{2}_{-1}-x^{2}+x+2 \ dx=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+2x \Big|^{2}_{-1}=[/tex]
[tex]$=-\frac{8}{3} +2+4-\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \Big)=\frac{10}{3} +\frac{7}{6} =\frac{9}{2}[/tex]
