Proszę o pomoc!!! Pilne do północy
1. Wykaż, że liczba 13^2022 + 13^2020 + 13^2018 + 13^2016 + 13^2014 + 13^2012 jest podzielna przez 17.2. Dany jest trójkąt ABC [załącznik]. Na boku AB tego trójkąta wybrano punkt D, tak że |BD| = 1/5 |AB|, a na boku AC wybrano taki punkt E, że |CE| = 7/8 |AC|. Wykaż, że pole trójkąta ABC jest 10 razy większe od pola trójkąta ADE.

[tex]13^{2022}+13^{2020}+13^{2018}+13^{2016}+13^{2014}+13^{2012}\\\\=13^2\cdot3^{2020}+13^{2020}+13^2\cdot13^{2016}+13^{2016}+13^2\cdot13^{2012}+13^{2012}\\\\=169\cdot3^{2020}+13^{2020}+169\cdot13^{2016}+13^{2016}+169\cdot13^{2012}+13^{2012}\\\\=170\cdot3^{2020}+170\cdot13^{2016}+170\cdot3^{2012}\\\\=170\cdot(13^{2020}+13^{2016}+3^{2012})=17\cdot10\cdot(13^{2020}+13^{2016}+3^{2012})[/tex]

W iloczynie występuje czynnik 17. Czyli cał liczba jest podzielna przez 17.

[tex]\blacksquare[/tex]

Zad.2 (patrz załącznik).

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

[tex]P=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha[/tex]

Podstawiamy:

[tex]P_{ABC}=\dfrac{1}{2}|AB||AC|\sin\angle BAC\\\\P_{ADE}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4\!\!\!\!\diagup^1}{5}|AB|\cdot\dfrac{1}{8\!\!\!\!\diagup_2}|AC|\sin\angle BAC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{10}|AB||AC|\sin\angle BAC\\\\\dfrac{P_{ABC}}{P_{ADE}}=\dfrac{\frac{1}{2}|AB||AC|\sin\angle BAC}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}|AB||AC|\sin\angle BAC}[/tex]

prawie wszystko nam się poskraca i zostaje

[tex]\dfrac{P_{ABC}}{P_{ADE}}=\dfrac{1}{\frac{1}{10}}=10[/tex]

Czyli pole trójkąta ABC jest 10 razy większe niż pole trójkąta ADE

[tex]\blacksquare[/tex]