Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{7.90\ L_{\triangle A_1B_1C_1}=11cm}\\\boxed{7.91\ a)\ \dfrac{25}{64};\ b)\ \dfrac{1}{4};\ c)\ \dfrac{4}{25};\ d)\ \dfrac{1}{9}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad. 7.90
Dane:
[tex]L_{\triangle ABC}=33cm\\\\P_{\triangle ABC}=18cm^2\\\\P_{\triangle A_1B_1C_1}=2cm^2\\\\\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1[/tex]
Szukane:
[tex]L_{\triangle A_1B_1C_1}=?[/tex]
Wiemy, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Stąd:
[tex]k^2=\dfrac{2}{18}\\\\k^2=\dfrac{1}{9}\to k=\sqrt{\dfrac{1}{9}}\\\\\boxed{k=\dfrac{1}{3}}[/tex]
Wiemy, że stosunek odpowiadających sobie długości, w szczególności obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. Stąd:
[tex]\dfrac{L_{\triangle A_1B_1C_1}}{L_{\triangle ABC}}=k\to\dfrac{L_{\triangle A_1B_1C_1}}{33}=\dfrac{1}{3}\qquad|\cdot33\\\\L_{\triangle A_1B_1C_1}=11[/tex]
Zad. 7.91
Jako, że [tex]A_1B_1\ ||\ AB[/tex] możemy skorzystać z twierdzenia Talesa, albo możemy stwierdzi, że trójkąty [tex]ABC[/tex] i [tex]A_1B_1C[/tex] są podobne.
W związku z tym możemy obliczyć skalę podobieństwa:
a)
[tex]k=\dfrac{2,5}{4}=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}[/tex]
[tex]\dfrac{P_{\triangle A_1B_1C}}{P_{\triangle ABC}}=\left(\dfrac{5}{8}\right)^2=\dfrac{25}{64}[/tex]
b)
[tex]|BC|=2|B_1C|\to\dfrac{|B_1C|}{|BC|}=\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{P_{\triangle A_1B_1C}}{P_{\triangle ABC}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}[/tex]
c)
[tex]|B_1C|=2a\\\\|BC|=2a+3a=5a\\\\k=\dfrac{2a}{5a}=\dfrac{2}{5}\\\\\dfrac{P_{\triangle A_1B_1C}}{P_{\triangle ABC}}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}[/tex]
d)
Niech [tex]|A_1C|=x[/tex]
wtedy [tex]|CA|=3x[/tex]
[tex]k=\dfrac{x}{3x}=\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{P_{\triangle A_1B_1C}}{P_{\triangle ABC}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}[/tex]
