Odpowiedź:
1. Objętość ostrosłupa V = 108√3
2.1. Objętość ostrosłupa V = 972√3
2.2. Objętość czworościanu foremnego V = 128√2/3
Szczegółowe wyjaśnienie:
1. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku oznaczmy a oraz wysokości podstawy oznaczmy h, gdzie wysokość h jest podzielona na
2h/3 i h/3. Wysokość ostrosłupa oznaczono H = 12 cm.
tgα = 1/2 = (2h/3) : H = (2h/3) : 12 = 2h/36 = h/18 to h/18 = 1/2 /•2 to
2h/18 = 1 to h/9 = 1 to h = 9 cm. W trójkącie równobocznym z tw. Pitagorasa łatwo wyliczyć, że h = a√3/2 /•2 to 2h = a√3 to a = 2h/√3
to a = 2•9/√3 = 2•9√3/3 = 6√3. Pole trójkąta równobocznego (podstawy)
o boku a i wysokości h jest równe P = a²√3/4 = 36•3√3/4 = 27√3
Objętość ostrosłupa V o wysokości H = 12 cm jest równa jednej trzeciej iloczynu pola postawy i wysokości H, V = (27√3)2/3 = 108√3
2.1. Można skorzystać z rysunku i oznaczeń jak w zadaniu 1., z tw. Pitagorasa mamy: (h/3)² + 12² = 15² to (h/3)² = 15² - 12² = 81 to
h/3 = 9 to wysokość podstawy ostrosłupa (trójkąta równobocznego) jest równa h = 27 cm, dalej mamy: h = a√3/2 /•2 to 2h = a√3 to
a = 2h/√3 = 2h√3/3 to a = 2•27√3/3 = 2•9√3 to a = 18√3
Pole podstawy P = a²√3/4 = 18•18•3√3 /4 = 243√3
Objętość V = PH/3 = (243√3)•12/3 = 972√3
2.2. Czworościan foremny ma wszystkie cztery ściany równe i każda ściana jest trójkątem równobocznym - oznaczmy bok podstawy a = 8, to
objętość czworościanu foremnego V = a^3√2/12 (gdzie a^3 oznacza podniesienie do potęgi trzeciej) to V = 8^3√2/12 = 512√2/12 = 128√2/3
