Rownanie prostej przechodzacej przez punkty A i B
[tex]\left \{ {{4=2a+b/*(-5)} \atop {10=5a+b/*2}} \right.\\+\left \{ {{-20=-10b-5b} \atop {20=10a+2b}} \right. \\-20+20=-5b+2b\\0=-3b\\0=b\\4=2a /:3\\2=a\\y=2x[/tex]
Rownanie prostej przechodzacej przez punkty B i C
[tex]\left \{ {{10=5a+b/*6} \atop {18=-6a+b/*5}} \right. \\+\left \{ {{60=30a+6b} \atop {90=-30a+5b}} \right. \\150=11b /:11\\\frac{150}{11}=b\\10=5a+\frac{150}{11}\\\frac{110}{11}-\frac{150}{11}=5a /*(\frac15)\\-\frac{40}{11}*\frac15=a\\-\frac8{11}=a\\y=-\frac8{11}x+\frac{150}{11}[/tex]
Rownanie prostej przechodzacej przez punkty C i D
[tex]\left \{ {{18=-6a+b/*5} \atop {10=-10a+b /*(-3)}} \right. \\+\left \{ {{90=-30a+5b} \atop {-30=30a-3b}} \right. \\90-30=5b-3b\\60=2b /:3\\30=b\\10=-10a+30 /-30\\-20=-10a /:(-10)\\2=a\\y=2x+30[/tex]
Rownanie prostej przechodzacej przez punkty A i D
[tex]\left \{ {{4=2a+b/*5} \atop {10=-10a+b}} \right. \\+\left \{ {{20=10a+5b} \atop {10=-10a+b}} \right. \\30=5b+b\\30=6b /:6\\5=b\\4=2a+5 /-5\\-1=2a /:2\\-\frac12=a\\y=-\frac12a+5[/tex]
Rownania prostych przechodzacych przez punkty A i B oraz C i D mają te same wspolczynniki kierunkowe, są więc równolegle = są podstawami.
Szukamy wspolczynnika kierunkowego prostej zawierającej się w wysokosci.
[tex]a_1*a_2=-1\\2*a_2=-1 /:2\\a_2=-\frac12[/tex]
Taki wspolczynnik kierunkowy ma prosta przechodząca przez punkty A i D, jest więc naszą wysokością.
Obliczamy dlugosci odcinkow potrzebnych do obliczenia pola (dwie podstawy oraz wysokosc)
[tex]a = |AB|\\b = |CD|\\h=|AD|\\\\a=\sqrt{(5-2)^2+(10-4)^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=\sqrt{9*5}=3\sqrt5\\b=\sqrt{(-6-5)^2+(18-10)^2}=\sqrt{(-11)^2+8^2}=\sqrt{121+64}=\sqrt{185}\\c = \sqrt{(-10-2)^2+(10-4)^2}=\sqrt{(-12)^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\sqrt{4*9*5}=2*3\sqrt5=6\sqrt5[/tex]
Obliczamy pole trapezu:
[tex]P=\frac{(a+b)*h}{2}\\P=\frac{(3\sqrt5+\sqrt{185})*6\sqrt5}{2}=\frac{(3\sqrt5*6\sqrt5)+(\sqrt{185}*6\sqrt5)}{2}=\frac{90+6\sqrt{925}}{2}=\frac{2(45+3\sqrt{25*37})}2=45+3*5\sqrt{37}=45+15\sqrt{37}[/tex]
